据我了解，指数族定义为

$$f(y;\theta,\phi) = \exp\left(\frac{y\theta - b(\theta)}{a(\phi)}+c(y,\phi)\right)$$

我读过（但在任何地方都没有看到），t 分布不是指数族的成员。但我不明白为什么。

例如，假设我设置，，并设置 ,$\theta = 0$$b(\theta)=0$

$$c(y,\phi) = \ln\left(\frac{\Gamma\left(\frac{\phi+1}{2}\right)}{\sqrt{\phi\pi}\Gamma(\frac{\phi}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\phi} \right)^{-\frac{\phi+1}{2}}\right)$$

那么t分布不会出现，因为

你将会拥有

$$\exp\left(0+\ln\left(\frac{\Gamma\left(\frac{\phi+1}{2}\right)}{\sqrt{\phi\pi}\Gamma(\frac{\phi}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\phi} \right)^{-\frac{\phi+1}{2}}\right)\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{\phi+1}{2}\right)}{\sqrt{\phi\pi}\Gamma(\frac{\phi}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\phi} \right)^{-\frac{\phi+1}{2}}$$

这是 t 分布。

为什么这不起作用？

编辑：

理想情况下，我想知道为什么我上面的逻辑也是错误的（我确定是这样）。因此，如果您可以将其纳入您的答案，那就太好了。