机器算法验证 - 是否所有具有对角元素 1 和其他值介于 -1 和 1 相关矩阵之间的对称矩阵？ - 吾爱随笔录

机器算法验证相关性数理统计多元分析协方差协方差矩阵

2022-04-11 01:08:16

统计学家和其他数学爱好者的问题：是否所有对称矩阵都具有对角线元素 1 和其他值之间 $-1$ 和1个相关矩阵？

1个回答

我认为必须先询问和回答这个问题，但找不到它，所以就这样......让 $S$ 是一个协方差矩阵（对于后面的代数来说，不管它是理论的还是经验的）。让 $D$ 是一个对角矩阵，对角线为 $S$ . 那么相关矩阵 $R$ 是（谁）给的

R = D^{- 1 / 2} S D^{- 1 / 2}

$R= D^{-1/2} S D^{-1/2}$ （这里解释了如何直接看到这一点。）

看到那个 $S$ 必须是正（半）定（缩写为 posdef），让 $X$ 是具有协方差 amtrix 的随机变量 $S$ ，和 $c$ 一个向量。然后

V a r (c^{T} X) = c^{T} S c \geq 0

$\DeclareMathOperator{\var}{\mathbb{V}ar} \var(c^T X)= c^T S c \ge 0$ 因为方差总是非负的。然后这转移到相关矩阵：

c^{T} R c = c^{T} D^{- 1 / 2} S D^{- 1 / 2} c = (D^{- 1 / 2} c)^{T} S (D^{- 1 / 2} c) \geq 0

$c^T R c = c^T D^{-1/2} S D^{-1/2} c = (D^{-1/2} c)^T S (D^{-1/2} c) \ge 0$ 有了这个，就很容易做一个反例，以下不是相关矩阵：

(\begin{matrix} 1 & - 0.9 & - 0.9 \\ - 0.9 & 1 & - 0.9 \\ - 0.9 & - 0.9 & 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & -0.9 & -0.9 \\ -0.9& 1 & -0.9 \\ -0.9 & -0.9 & 1 \end{pmatrix}$

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