机器算法验证 - 涉及两个自变量的方差 - 吾爱随笔录

您好，我有两个自变量 P 和 Q。它们都是非负数。现在我在它们上定义了两个新变量：

第一个变量由于 P 和 Q 是独立的，所以

R_{1} = α P + (1 - α) Q .

$R_1=\alpha P+(1-\alpha)Q.$

V a r (R_{1}) = α^{2} V a r (P) + (1 - α)^{2} V a r (Q)

$Var(R_1)=\alpha^2 Var(P)+(1-\alpha)^2Var(Q)$

第二个变量 R2 是一种复合变量：我们得到 P的概率为，得到 Q 的概率为 $\alpha$ $1-\alpha$ 。我将方差计算为

V a r (R_{2}) = α E (P^{2}) + (1 - α) E (Q^{2}) - (α E (P) + (1 - α) E (Q))^{2}

$Var(R_2)=\alpha E(P^2)+(1-\alpha)E(Q^2)-(\alpha E(P)+(1-\alpha)E(Q))^2$

我的直觉是我想知道是否有人可以帮助证明上述直觉？

V a r (R_{2}) \geq V a r (R_{1}) .

$Var(R_2) \geq Var(R_1).$

这是一个例子。令这意味着有 0.5 概率得到 10 和 0.5 概率得到 0。令。然后和。我们得到和。 $P=Q=(10,0.5;0,0.5)$ $\alpha=0.5$ $R_1=(10,0.25;5,0.5;0,0.25)$ $R_2=(10,0.5;0,0.5)$ $Var(R_1)=12.5$ $Var(R_2)=25$

我尝试了其他几个示例，它们都表明。 $Var(R_2)>Var(R_1)$