给定一个 iid 样本$\{ X_1, ..., X_n \}$，我们可以计算它的最大值$Y = \max \{ X_1, ..., X_n \}$. 问题是，如果样本的值遵循分布$P(X)$，那么样本最大值$P(Y)$的分布是什么？

可以证明，根据极限的形式，的形式会发生变化。如果作为的幂律衰减，则是 Frechet 分布。逼近的有限端点，则它遵循 Weibull 分布，其参数可以很容易地写为样本大小的函数。如果比幂律衰减得更快，则是 Gumbel 分布（我不确定是否可以将其参数写为$P(X)$$X\to\inf$$P(Y)$$P(X)$$X\to\inf$$P(Y)$$x_0$$(x_0-x)^\alpha$$n$$P(X)$$P(Y)$$n$与 Weibull 的情况一样）。这很重要，因为它显示了通用行为，即细节无关紧要，因此对于、或任何其他形式都是相同的。重要的是它比幂律衰减得更快。您可以在本书第 24 页中看到它。另外，请注意，如果我们谈论的左尾而不是右尾的属性，这里对最大值的讨论也适用于最小值。$e^{-x}$$e^{-x^2}$$P(X)$

但是，这些结果仅在无限样本量的限制下有效。如果您想获得有限的精确结果，您需要自己计算特定分布形式，如此处所示。$n$$P(Y)$$P(X)$