说一个函数“升得比线性快”本质上意味着它的导数增加了，这意味着它的二阶导数是正的。

逼近函数二阶导数的方法是使用抛物线。当您想从函数及其导数的点评估开始逼近函数时，泰勒分解也是如此，但它也适用于最小二乘法。当将一条直线拟合到您的数据时，您正在强加一个具有恒定一阶导数的模型，但这可以通过添加二次项进行修改，然后二阶导数是恒定的，您现在可以允许它改变添加三次项，并且很快。

但是不要担心（二阶）导数如何变化，只需用平均估计值来解决，这是您可以用于测试的最佳方法。

当您考虑空模型时，这就是平均值。当你有一个线性模型时，斜率测量平均增量，当你包括一个二次项时，这是平均二阶导数。简单地测试它是否是积极的。$y$

假设你已经知道$f$正在增加，我们可以进一步假设，如果它的一阶导数在$x$（这也使它成为一个凸函数）。因为我们正在处理一组离散的、可数的观察结果

$$\{ (x_1, f_1) , (x_2, f_2), \dots, (x_n, f_n) \}$$

我们无法观察导数。但是我们可以看看某种形式的离散导数，比如级数的前向差分

$$\Delta f_i = f_{i+1} - f_i$$

为了$i \in \{1, \dots, n-1\}$（在这种情况下，您将不得不放弃最后的观察$x_n$）。通过回归拟合多项式或特定函数$\Delta f_i$上$x_i$并且检查系数的重要性不是一个稳健的解决方案，因为导数的函数形式实际上可以采用任何非多项式形状。如果存在显着偏离正态性，回归系数的 p 值也不准确。

这就是为什么我会建议检查诸如排名相关性之类的东西$\Delta f$上$x$. 即，Spearman 相关性 $\rho$是基于秩的非参数相关性，用于评估两个变量之间的单调性。并且它的统计分布在小样本和大样本中都是已知的。

因此，单边测试

$$H_0: \rho( \Delta f , x) = 0$$ $$H_A: \rho( \Delta f , x) > 0$$

如果被拒绝，将证明以下说法的可信度$f$确实是超线性的$x$.

数值示例。在这里，我将生成两个函数$f_0$和$f_1$与$p$分别为 0.8 和 1.2。然后我将证明斯皮尔曼相关可以区分哪一个是超线性的。

import numpy as np
from scipy.stats import spearmanr as sp # this is spearman correlation

delta = lambda series: series[1:] - series[:-1] # forward diff operator

n = 100 # size of sample
x = np.linspace(0,100,n) # x series
e = np.random.normal(0,1,n) # noise term
f0 = x**.8 + e # sub-linear function of x
f1 = x**1.2 + e # super-linear function of x

sp(delta(f0),x[:-1])

correlation=-0.034, pvalue=0.735


sp(delta(f1),x[:-1])

correlation=0.309, pvalue=0.002

虽然它不会使该实验的结果无效，但请记住，要获得准确的类型 1 错误率，此 p 值（来自 scipy）用于 2 面测试。就您而言，您正在寻找单面测试。