实际上，我最近写了一篇关于这个主题的论文，将出现在 NIPS 2018 上：https ://arxiv.org/abs/1806.08805

我和我的合作者证明，在无限维数的限制下，随机游走在任何 PCA 组件上的投影都是正弦曲线。欢迎您阅读论文以获得证明，但也许我可以尝试更直观的解释。

随机游走过程是一个平移不变过程。不管你走了多少步，离原点有多远，决定下一步的过程是完全一样的。（这与 Ornstein-Uhlenbeck 过程相反，例如，它是二次井中的随机游走。在这种情况下，确定下一步的过程取决于您与原点的距离。）

现在，任何平移不变算子的特征函数都是傅里叶模式。为什么是这样？好吧，为了平移不变，特征函数需要是周期性的，为了成为正交基，它们需要相互正交。满足这些性质的函数集就是傅里叶基。

至于你关于两个独立随机游走似乎相关的第二个问题，这只是一种错觉。尽管两个随机游走的轨迹在它们的第一个 PCA 分量上的投影都是余弦，但第一个 PCA 分量的方向将是完全随机的。打个比方，如果您进行两次随机游走，每次 10 ^ 6 步，您可以非常确定两者最终都将在距原点约 1000 的距离处结束。但这两次行走并没有任何关系，而且每次行走所走的方向都会有所不同。