机器算法验证 - AR(2) 模型是因果的 - 吾爱随笔录

机器算法验证时间序列自回归的阿玛因果关系

2022-04-06 10:12:52

AR(2) 模型是：

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + W_{t}

$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+W_t$

在哪里 $W_t\sim N(o,\sigma^2)$

我想证明 AR(2) 模型是因果的。所以，我尝试如下：

X_{t} - ϕ_{1} X_{t - 1} - ϕ_{2} X_{t - 2} = W_{t}

$X_t-\phi_1X_{t-1}-\phi_2X_{t-2}=W_t$

\Rightarrow (1 - ϕ_{1} B - ϕ_{1} B^{2}) X_{t} = W_{t}

$\Rightarrow (1-\phi_1 B-\phi_1 B^2)X_t=W_t$

在哪里 $B$ 是后移运算符，即 $B X_t=X_{t-1}$

\Rightarrow X_{t} = (1 - ϕ_{1} B - ϕ_{1} B^{2})^{- 1} W_{t}

$\Rightarrow X_t=(1-\phi_1 B-\phi_1 B^2)^{-1}W_t$

那我不知道我该怎么办？

4个回答

一个著名的定理（Theorem 3.1.1., Brockwell, Davis. Time series: theory and application）指出，一个 ARMA( $p$ , $q$ ）过程

ϕ (B) X_{t} = θ (B) W_{t}

$\phi(B)X_t = \theta(B) W_t$ 是因果的当且仅当

ϕ (z) \neq 0

$\phi(z) \neq 0$ 对所有人

z \in C

$z \in \mathbb{C}$ 这样

| z | \leq 1

$\left|z\right|\leq 1$ .

所以为了AR（ $2$ ) 过程是因果的，系数 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 必须满足

1 - ϕ_{1} z - ϕ_{2} z^{2} \neq 0

$1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 \neq 0$ 对所有人

| z | \leq 1

$\left|z\right| \leq 1$ . 这不是所有人的因果过程

ϕ_{1}, ϕ_{2}

$\phi_1, \phi_2$ . 例如，

ϕ_{1} = 2, ϕ_{2} = 0

$\phi_1 = 2, \phi_2 = 0$ .

您的最终方程式导致 AR 过程的 MA 表示。

Pred[X(t)] = cons + a1*W(t-1) + a2*W(t-2) + .... an*W(tn) 反映了先前的错误如何“导致”X。

所有 ARMA 模型都可以呈现为纯 AR 模型（过去的加权平均）

或作为纯 MA 模式（过去错误的加权平均值）

你写：“我想证明 AR(2) 模型是因果的。”

根本不可能。AR 和/或 ARMA 模型从来都不是因果关系。ARMA 模型被认为是用来描述具有自己过去的过程。这些明确地仅具有统计意义。

因果关系超越了单纯的统计关系，涉及多个变量。如果我们不知道这一点，我们肯定会将统计关联和因果关系混为一谈。最多您可以询问 Granger 因果关系（不愉快的名字），但 ARMA 的单变量性质也排除了这种可能性。由于这些原因，我不同意以前的答案，这些答案在没有警告因果意义的情况下为您提供其他信息。

AR(2) 是因果的，如果：

ϕ_{1} + ϕ_{2} < 1

$\phi_1+\phi_2 < 1$ 和

ϕ_{1} - ϕ_{2} < 1

$\phi_1 - \phi_2 < 1$ 和

- 1 < ϕ_{2} < 1

$-1 < \phi_2 < 1$ 在这种情况下

ϕ_{2} (B) = 0

$\phi_2(B)=0$ 方程根在单位圆之外，所以它是因果关系。

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