实际上，对于 4 组，您通常会使用一个 ANOVA 来比较均值，而不是六个 t 检验（尽管 t 检验仍然会带有多重比较或计划的对比）。

如果假设帕累托分布，那么有许多可能的方法。我只提几个，从我认为可能最简单的一个开始，还有一些可行的非参数测试。我假设左边界（，比例参数）是已知的；如果不是这样，事情就会更复杂（特别是如果它们未知且不一定相等）。$x_m$

(1) 功率参数（形状参数，）的比较意味着总体均值的比较（即相等的意味着相同的均值，不同的意味着不同的均值）。取并通过广义线性模型比较所得指数分布的尺度参数；进行 ANOVA 类型的比较和成对比较很简单。$\alpha$$\alpha$$\alpha$$z = \log(y/x_m)$

(1a) 处理未知但相等的的一种快速方法是获取对数并从所有样本中减去（整个集合的）最小值（从过程中的数据中丢失该值）。然后，您可以按照上述方式进行操作。$x_m$

这是一个 R 示例（使用）。几乎任何体面的统计数据包都可以进行类似的拟合：$x_m=1$

# create some (Pareto) data:
y1 <- c(814.660, 1.47520, 1.28029, 2.08808, 13.5882, 25.1290, 10.7137, 
       10.3032, 13.9075, 1556.73, 1.73512, 1783.04, 2.10658, 56.7400, 
       1.34085, 4.01592, 1.19537, 2.23376, 22.5796, 12.3961)
y2 <- c(332.949, 13.0680, 1.19512, 9.19466, 1.10640, 11.5778, 4.69242, 2.50173, 
       1.51986, 184.397, 2.61102, 17.86237, 6.01949, 76.9210, 3.66999)
pdata <- stack(list(y1=y1,y2=y2))


pcompfit <- glm(log(values)~ind,family=Gamma(link=log),data=pdata)
summary(pcompfit, dispersion=1) # dispersion = 1 for exponential

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)   0.9106     0.2236   4.072 4.66e-05 ***
indy2        -0.1311     0.3416  -0.384    0.701    

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 1)

    Null deviance: 34.674  on 34  degrees of freedom
Residual deviance: 34.528  on 33  degrees of freedom
AIC: 135.73

（删除了一些非必要的输出行）

测试（正确地）发现第二个样本的参数较小，但对于如此小的样本，效应大小太小而无法从随机变化中分辨出来。

指数分布的数据也可以通过survregR进行比较。

(2) 使用 Pareto 假设（和），对数的对数（单调的）简化为位置与移位选择的比较。因此，您可以使用 Kruskal-Wallis 有意义地比较原始数据，并且在这种转换的换档方案下解释结果将相当容易。$x_m\geq 1$

# example - same data as before
# the 'anova-like' test (you don't need to transform to test for equality:
kruskal.test(values~ind,data=pdata)

    Kruskal-Wallis rank sum test

data:  values by ind
Kruskal-Wallis chi-squared = 0.0544, df = 1, p-value = 0.8155

如果您在 loglog 尺度上工作，您甚至可以为参数比率的 log 生成置信区间。[我们不习惯将这些测试视为均值的比较，但使用特定的分布假设和常见的，它是总体均值（以及中位数等）的比较。]$x_m$

这里用 Mann-Whitney 显示，区间构造很容易——

# the estimate of shift in log-parameter:
> wilcox.test(log(log(values))~ind,data=pdata,conf.int=TRUE)

    Wilcoxon rank sum test

data:  log(log(values)) by ind
W = 157, p-value = 0.8307
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.8001905  0.8935245
sample estimates:
difference in location 
             0.0668152 

[然而，像 Dunn 检验这样更合适的方法应该用于与 Kruskal-Wallis 的事后比较；尽管经常被建议（例如在本节的底部，Mann-Whitney 并不是最合适的选择。这里讨论了一个原因。]

请注意，这种比较是在 GLM 中“以相反的方式”进行的（“第一秒”，而不是 GLM 中的“第二优先”）。在任何情况下，翻转估计的符号和置信区间的结束都是微不足道的，但重要的是要知道它会发生。

[p 值的微小差异是因为 KW 使用的是卡方近似值，而不是检验统计量的精确分布。在大样本中，近似值非常好。]

在大样本中，移位参数的估计值应该在两个测试之间更加一致。

(3) 可以做似然比检验。（这可以毫无困难地处理未知的，但您可能需要依赖渐近卡方结果）$x_m$