机器算法验证 - 对数正态分布随机变量的最优正交多项式混沌基函数 - 吾爱随笔录

对数正态分布随机变量的最优正交多项式混沌基函数

机器算法验证随机过程多项式

2022-04-09 11:52:37

我希望这是解决此类问题的合适场所。如果没有，请随时迁移！:)

我正在尝试求解形式为的随机偏微分方程

α (ω) \nabla^{2} u = f

$\alpha(\omega)\nabla^2u=f$ 在哪里

α (ω)

$\alpha(\omega)$ 表示一个对数正态分布的随机场，即它具有概率密度函数

f (x) = \frac{1}{x \sqrt{2 π σ^{2}}} e^{- \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} .

$f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$

我想将这个问题的解决方案表示为多项式混沌展开

u = \sum_{i = 0}^{p} u_{i} (x) Ψ_{i} (ξ)

$u=\sum_{i=0}^p u_i(x)\Psi_i(\xi)$ 在哪里

u_{i} (x)

$u_i(x)$ 是确定性系数，并且

Ψ_{i} (ξ)

$\Psi_i(\xi)$ 是关于随机变量的正交多项式

ξ

$\xi$ 具有相同的对数正态概率密度函数。

根据Xiu & Karniadakis (2002)的观点，某些正交多项式基给出了有限展开到真解的最优（指数）收敛性 $u$ . 例如，Hermitte 多项式适用于高斯分布，Legendre 多项式适用于均匀分布，Laguerre 适用于 gamma 分布等（参见上述论文，第 8 页底部）。

对数正态分布对应的最优多项式基是什么？

1个回答

对数正态分布没有最优多项式基础，因为它在汉堡意义上不是确定的。Xiu 和 Karniadakis（广义多项式混沌）指出的方法并不总是有效。我会在这里有点非正式。有关严格的处理，请参见此处。

让 $X$ 表示连续随机变量和 $f_X(x)$ 它的pdf。另外，我们假设 $X$ 具有所有阶的绝对有限矩，即

\int_{R} | x |^{n} f_{X} (x) d x < \infty \forall n \in N

$\int_\mathbb{R}|x|^nf_X(x)dx < \infty \quad \forall n \in N$

这意味着 $X$ 具有所有阶的有限矩，即

m_{n} = \int_{R} x^{n} f_{X} (x) d x < \infty \forall n \in N

$m_n=\int_\mathbb{R}x^nf_X(x)dx < \infty \quad \forall n \in N$

通过这些条件，您可以确定与 $f_X(x)$ ，例如将 Gram-Schmidt 过程应用于单项式基础，或者使用更稳定的 Stieltjes 过程。对数正态分布满足这些假设，因此存在一组与其相关的正交多项式，即Stieltjes-Wigert 多项式。

然而，这还不足以扩展每个均方可积随机变量 $Y=g(X)$ 在一系列正交多项式中 $X$ , 均方收敛到 $Y$ . 原因是在我们陈述的条件下，我们不能保证正交多项式在 $A=L^2(\Omega,\sigma(X),P)$ ，在哪里 $\Omega$ 是概率空间的样本空间 $X$ 已关联的， $P$ 是概率空间的概率测度，并且 $\sigma(X)$ 是个 $\sigma$ - 代数由 $X$ . 如果这听起来太复杂，可以这样想：所有均方可积随机变量的空间 $Y$ 这是一个可测量的函数 $g(X)$ 的 $X$ 是一个非常大的空间。除非你确定多项式关于 $f_X(x)$ 在这样的空间里很密集，可能会有一些 $Y$ 它不能表示为一系列所述多项式。

在我们的假设下，正交多项式密度的充要条件 $A$ 就是它 $f_X(x)$ 在汉堡的意义上是确定的，即它是由其所有阶矩的序列唯一确定的。对数正态分布在汉堡意义上不是确定的，因此存在一些平方均值可积 RV $Y=g(X)$ 这样的扩展 $Y$ 在一系列 Stieltjes-Wigert 多项式中，要么不收敛，要么收敛到不收敛的极限 $Y$ （回想一下，这里的收敛总是在均方意义上）。对于一些例子，再次参见我上面链接的论文。

故事结束，对于你的随机系数泊松 PDE，它可能更好地表示 $u$ 作为一系列 Hermite 多项式。不过收敛速度会很慢。

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