机器算法验证 - 使用来自正态分布的小样本，您是否使用 at 分布进行模拟？ - 吾爱随笔录

使用来自正态分布的小样本，您是否使用 at 分布进行模拟？

机器算法验证采样模拟 t分布

2022-04-17 12:37:58

我想模拟一些“假设”计算的温度数据。问题是，我只有 10 个实际温度数据值的时间序列。我想使用温度作为模拟的输入，所以我需要一种方法来生成大量与原始 10 个值一致的温度值。假设它们来自正态分布可能是可以的，但我不知道均值或方差。

我无法证明这一点，但我怀疑这 10 个值是否能很好地代表整个温度范围。如果我使用该sample函数进行模拟，如下所示，我只能取回原始值。那看起来不太对劲。如果我使用该rnorm函数，我知道我不知道方差，所以我认为这也不对。所以，我只剩下rt函数（t 分布）了。

下面是一个问题的模型。

ori <- rnorm(n=10, mean=65, sd=5) #original 10 data points

num.sam <- sample(x=ori, size=100, replace = TRUE) #simulation using sample
num.tdis <- mean(ori) + (rt(n=100, df=10) * sd(ori)) #simulation using a t distribution

hist(ori, breaks=40:90) 
hist(num.sam, breaks=40:90) 
hist(num.tdis, breaks=40:90)

我的问题是，

当我只有数据（均值和方差未知），并且可以合理地假设数据来自正态分布时，是否可以使用 t 分布生成模拟数据？
对于这种情况，我唯一rnorm用于模拟的时间是如果我知道方差（不是从数据估计的方差），对吗？
如果 t 分布模拟在这些条件下是可以的，是否有任何条件最好只对数据进行采样（例如 100 个原始数据点、200 个等）？

编辑：

既然我用原始数据来估计均值和方差，那代码第三行（for）的自由度是不是rt(...)应该从10降到9？还是8？

3个回答

使用您的假设，即这些点来自具有未知均值和方差的正态分布，无论您有多少数据点，T 分布都是正确的抽样分布，因为它是模型的后验预测分布。您可能想检查您的公式，因为它看起来比我以前看到的要简单一些。

要回答您的问题，（1）是，（2）是，和（3）不是。

您可以从正态分布（或 t 如果您愿意）生成均值向量，表示均值的不确定性，然后从 a 生成方差向量 $\chi^2$ 分布表示您在方差中的不确定性，然后使用您的均值向量和方差向量作为参数从正态生成实际观察值。这将考虑到您提到的额外不确定性。

如果您对您认为平均值和/或方差应该在哪里有一些感觉（但不确切知道），那么您可能想尝试一种贝叶斯方法，您可以在其中使用该先验信息。

我将详细说明 Neil G 和 Greg Snow 的回答如下：

为您的原始文件运行非信息性贝叶斯推理 $10$ 数据值
使用后验预测分布生成新数据

从非信息性先验派生的后验预测分布正是旨在满足您的需求：一种生成“与原始数据一致”的数据的分布，同时考虑到模型参数的不确定性。

现在，从无信息先验导出的后验预测分布是什么？这取决于非信息先验的选择，但对于正常样本模型，有一个很好的“默认”非信息先验。您也可以稍微“作弊”并使用“贝叶斯频率论”预测分布（有时也称为“频率论预测分布”）。频率预测分布的原理如下。经典的 $100(1-\alpha)\%$ -新观察的预测间隔是 $\bar{y} \pm \mathrm{t}^*_{n-1}(\alpha/2) \hat\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ . 然后贝叶斯频率预测分布被取为 $\bar{y} + T \hat\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ 在哪里 $\bar{y}$ 和 $\hat\sigma$ 被认为是固定的并且 $T$ 有学生 $\mathrm{t}_{n-1}$ 分配。就这样 $100(1-\alpha)\%$ -频率预测分布的分位数等于通常的 $100(1-\alpha)\%$ -预测上限。

我不完全记得从默认的非信息先验派生的贝叶斯预测分布，但它非常接近频率预测分布（有一些细微的差异，例如 $\mathrm{t}^*_{n-\frac{1}{2}}$ 代替 $\mathrm{t}^*_{n-1}$ ）。当我找到公式时，我会更新我的答案。

在这里，我问了一个与这些预测分布的性能有关的问题。

我声称常客预测分布源自“小作弊”，因为它并没有真正的理论基础。但我确信可以以常客的方式展示使用此分布的性能。

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