机器算法验证 - 一个硬币上连续 N 个正面朝上的封闭式递归公式 - 吾爱随笔录

一个硬币上连续 N 个正面朝上的封闭式递归公式

机器算法验证可能性自习条件期望

2022-04-18 18:56:52

我想找到次正面朝上的预期次数，其中是单次抛正面朝上的概率。 $N$ $p$

令为连续获得次正面朝上的预期投掷次数，因此 $F(N)$ $N$

F (N) = 1 + p F (N - 1) + (1 - p) F (N)

$F(N) = 1 + p F(N-1) + (1-p) F(N)$

这使

F (N) = 1 / p + F (N - 1)

$F(N) = 1/p + F(N-1)$

基本条件： $F(1) = 1 + 1/p$

我的逻辑如下：

如果我们得到一个正面，在当前的抛掷中我们需要连续获得 N-1 个正面，但是如果我们得到一个反面，我们必须重新开始

这是我的想法，但不正确。你能帮我么？

1个回答

令为第一次运行次成功所需的时间。 $T^{(k)}$ $k$

令对于每个都独立于。那么，因为，换句话说，如果我在当前试验中看到成功，那么获得次连续成功的时间是获得次连续成功的时间加一（当前试验）；但是如果我看到失败，获得次连续成功的时间是获得次连续成功的时间加一（当前试验），再加上自身，因为进程在分发中重新启动。 $X\sim\mathrm{Ber}(p)$ $T^{(k)}$ $k$

T^{(k)} = (T^{(k - 1)} + 1) X + (T^{(k - 1)} + 1 + T^{(k)}) (1 - X),

$T^{(k)} = (T^{(k-1)}+1)\, X + (T^{(k-1)}+1+T^{(k)}) \, (1 - X) \, ,$

k

$k$

k - 1

$k-1$

k

$k$

k - 1

$k-1$

定义，我们发现递归或 $a_k=\mathrm{E}[T^{(k)}]$

a_{k} = (a_{k - 1} + 1) p + (a_{k - 1} + 1 + a_{k}) (1 - p),

$a_k = (a_{k-1}+1)\,p + (a_{k-1}+1+a_k)\,(1-p) \, ,$

a_{k} = \frac{a_{k - 1}}{p} + \frac{1}{p} .

$a_k = \frac{a_{k-1}}{p}+\frac{1}{p} \, .$

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