机器算法验证 - 从具有不确定时间间隔的位置更新估计速度 - 吾爱随笔录

从具有不确定时间间隔的位置更新估计速度

机器算法验证回归估计功能数据分析测量误差

2022-03-21 21:02:02

我有 2 种替代方法来解决问题，我只是想知道有哪些人比我想象的更了解数学，以及是否有更好的方法来解决这类问题。

问题：我有一个纬度/经度位置列表和一个位置更新之间的时间间隔值，并希望找到 SOG（对地速度）。但是，每个时间间隔的确切值存在一些不确定性——因为数据是通过 Internet 检索的，即使在程序中（例如）设置为每 60 秒请求一次更新。数据来自海洋赛艇模拟器，因此 SOG 也会随着条件的变化以及航向的变化（相对于风）而变化。

一种方法是对与该间隔的时间长度成比例的新更新进行加权，并乘以我们当前的最佳 SOG 估计。像这样的东西（T以秒为单位）：

speed = distance / Δ T

$\text{speed} = \text{distance} / \Delta T$

d = 1 - e^{- Δ T}

$d = 1 - e^{-\Delta T}$

sog = d * speed + (1 - d) * sog

$\text{sog} = d * \text{speed} + (1 - d) * \text{sog}$

这可以正常工作，尤其是在速度相对一致的情况下。

在看到这个方法之前，我想出的估计 SOG 的方法是：
维护一个最近的个 {timestamp, lat, lon} 元组的列表。在每次更新时，计算从开始的所有可能子区间的调和平均值： $N$
$0, N-1$

S = N (N + 1) / 2

$S = N(N+1)/2$

sog estimate = S / \sum_{i = 0, j = i + 1}^{N - 1} {time}_{i j} / {distance}_{i j}

$\text{sog estimate} = S / \sum_{i=0,j=i+1}^{N-1} \text{time}_{ij} / \text{distance}_{ij}$

然后保留个最近估计的列表，并再次取调和平均值。 &不宜过大。显然，如果还没有个元组来对子区间求和，那么只要有很多可用的就使用。由于更新每 60 秒发生一次，因此 10-15 的值似乎适用于和。我能想到的一个可能的改进是对每个子区间进行加权，类似于方法 1。第二种方法似乎比第一种方法更准确，尽管有时可能需要更长的时间才能收敛到合理准确的估计 - 通常需要大约 N 次更新之前它对于任何实际用途都变得准确。 $M$ $N$ $M$ $N$ $N$ $M$
它似乎也能更好地处理“真实” SOG 的变化，即轻微的加速。

鉴于 SOG 很少在超过 15 或 20 分钟内保持一致，即从风强度的增加，或角度变化到船速更高/更低的角度等，并且该方向可以改变（同样，随着速度的变化)，从不确定的时间间隔和位置变化计算 SOG 的最佳算法是什么。另外，有没有一种可能的方法来估计估计误差？甚至可能在计算后纠正这个错误项？我应该提到所有可用的数据：航向、纬度和经度，并且我从每个更新请求的开始都保留一个时间戳。

我希望能够尽可能准确地计算出这个速度。

在此先感谢您的帮助，并原谅我对 MathJaX 的不当使用。

编辑：我从 MathJaX 得到数学处理错误，在 math.stackexchange 上运行良好？在这两个问题中注意到很多？？所以重新发布纯文本数学。

1个回答

因为您相信 GPS 位置（以及由此计算的距离）但时间有错误，所以将时间与累积距离进行回归。

要考虑加速和减速，请考虑以下形式的模型

Time = t = β_{0} + β_{1} X + β_{2} X^{2} + ε

$\text{Time} = t = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \varepsilon$

其中是距离，表示时间误差。拟合后，您可以估计，其中 $X$ $\varepsilon$ $\widehat{dt/dX} = \hat{\beta}_1 + 2 \hat{\beta}_2 X$

Speed estimate = \hat{d X / d t} = 1 / \hat{d t / d X} = \frac{1}{{\hat{β}}_{1} + 2 {\hat{β}}_{2} X} .

$\text{Speed estimate} = \widehat{dX/dt} = 1/\widehat{dt/dX} = \frac{1}{\hat{\beta}_1 + 2 \hat{\beta}_2 X}.$

这可能在靠近数据集中间的时候效果最好。因此，例如，您可以维护一个包含个观测值的循环缓冲区，该缓冲区在任何时候都会跨越时间，并使用它们来估计平均位置附近的速度。 $k$ $t_1, t_2, \ldots, t_k$ $\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}X_k$

例如，我根据公式生成距离，时间为。这表示从单位速度均匀减速的一段时间。请注意，它与假设模型不同：时间变化由二次公式给出。然后我通过独立的标准正态变量改变这些时间。与标称采样间隔相比，这是一个巨大的错误：您甚至无法确定连续两次的顺序实际上是否正确。这是对该方法的一个相当严格的测试。 $X(t) = 15 + i - i^2/25$ $t=1, 2, \ldots, 10$

这是一个典型实现的图，红点显示真实值，蓝色点显示观察值（即，具有时间抖动的真实值），以及时间的普通最小二乘拟合。我用。 $k=10$

情节 1

请注意，时间测量结果非常糟糕，船似乎多次反转航向，尤其是在时间 2 和 4 附近。

与我看到的许多实现不同，这种拟合在中心看起来并不是非常好：线偏离了红点。尽管如此，让我们看看在此期间估计速度和实际速度如何变化：

速度与位置

（请注意，您可以随时估计速度，而不仅仅是测量时间，因为拟合系数给出了速度公式。）

在这个速度与位置（不是时间）的关系图中，蓝色曲线是估计值，红色曲线是实际速度。显然它们在末端附近不是很接近，但对于中间时间，估计非常好。 （中间时间大约是位置 19-20，如第一个图所示。）请注意，直接从位置序列估计速度会遇到严重困难，因为（由于时间错误）船似乎是前后跳跃。如果您将向后跳跃视为真正的反转，您将严重高估速度，但如果您将它们视为负速度，则在平均时会遇到严重问题。 这里的道德是最好拟合位置与时间的模型，然后才尝试估计速度；不要试图直接估计速度。

越大，您期望的准确度就越高。使用 OLS 的机器来估计任何所需位置的时间预测误差；从中您可以将错误传播到速度估计。 $k$

由于在进行过程中添加了新值并删除了旧值，因此速度估计值可能会略微跳跃。你可以变得更漂亮并使用加权回归，在极端位置附近将权重平滑地降低到零。这样做时，估计速度与位置的关系图会更平滑一些。（这种技术类似于最近流行的 Fotheringham、Charlton 和 Brunsdon 的“地理加权回归” 。）

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