机器算法验证 - 具有回归效应的状态空间模型 - 吾爱随笔录

具有回归效应的状态空间模型

机器算法验证时间序列自习卡尔曼滤波器状态空间模型

2022-04-10 01:14:46

我试图展示以下内容（Durbin and Koopman (2012) 的练习 3.11.4）：

定义的状态空间模型也可以表示为对于和是固定矩阵并且都具有适当的维度。
$y_{t} = X_{t} β + Z_{t} α_{t} + ϵ_{t} α_{t + 1} = W_{t} β + T_{t} α_{t} + R_{t} η_{t}$ $y_t=X_t\beta+Z_t\alpha_t+\epsilon_t\\ \alpha_{t+1}=W_t\beta+T_t\alpha_t+R_t\eta_t$ $y_{t} = X_{t}^{*} β + Z_{t} α_{t}^{*} + ϵ_{t} α_{t + 1}^{*} = T_{t} α_{t}^{*} + R_{t} η_{t}$ $y_t=X_t^*\beta+Z_t\alpha_t^*+\epsilon_t\\ \alpha_{t+1}^*=T_t\alpha_t^*+R_t\eta_t$ $X_t$ $W_t$

我一直在尝试几件事，但似乎没有任何成果。在我看来，和的维度似乎是相同的，否则只需增加状态向量就可以了。但是在这种情况下，我看不出该怎么做。非常欢迎提出建议！ $\alpha$ $\alpha^*$

1个回答

这样做的方法是首先建立和之间的关系，然后从那里开始。我们取上面的初始状态方程并取 $\alpha_{t}$ $\alpha_{t}^{\ast}$

α_{t}^{*} = T_{t}^{- 1} W_{t} β + α_{t},

$\alpha_{t}^{\ast} = \mathsf{T}_{t}^{-1}\mathsf{W}_{t}\beta + \alpha_{t},$

我们看到我们可以写

α_{t + 1}^{*} = T_{t} α_{t}^{*} + R_{t} η_{t} .

$\alpha_{t + 1}^{\ast} = \mathsf{T}_{t}\alpha_{t}^{\ast} + \mathsf{R}_{t}\eta_{t}.$

就这样完成了。现在，对于上述方程中的第一个，我们采用

X_{t}^{*} = X_{t} - Z_{t} T_{t}^{- 1} W_{t},

$\mathsf{X}_{t}^{\ast} = \mathsf{X}_{t} - \mathsf{Z}_{t}\mathsf{T}_{t}^{-1}\mathsf{W}_{t},$

我们可以写

y_{t} = X_{t}^{*} β + Z_{t} α_{t}^{*} + ϵ_{t} .

$y_{t} = \mathsf{X}_{t}^{\ast}\beta + \mathsf{Z}_{t}\alpha_{t}^{\ast} + \epsilon_{t}.$

和的表达式代入方程来说服自己，你会看到你得到了最初的那些。 $\alpha_{t}^{\ast}$ $\mathsf{X}_{t}^{\ast}$

我希望这有帮助。

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