机器算法验证 - 半柯西分布的性质是什么？ - 吾爱随笔录 - 问答

半柯西分布的性质是什么？

机器算法验证分布贝叶斯事先的状态空间模型柯西分布

2022-02-07 23:11:16

我目前正在研究一个问题，我需要为状态空间模型开发马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法。

为了能够解决这个问题，我得到了的以下概率：p( ) = 2I( >0)/(1+ )。是的标准差。 $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

所以现在我知道它是一个半柯西分布，因为我从例子中认出了它，而且因为有人告诉过我。但我不完全理解为什么它是“半柯西”分布以及它附带哪些属性。

在属性方面，我不确定我想要什么。我对这种类型的计量经济学理论相当陌生。所以对我来说，了解分布以及我们如何在状态空间模型上下文中使用更重要。模型本身如下所示：

\begin{aligned} y_{t} & = x_{t} + e_{t} \\ x_{t + 1} & = x_{t} + a_{t + 1} \\ a_{t + 1} & \sim N (0, τ^{2}) \\ p (σ^{2}) & \propto 1 / σ^{2} \\ p (τ) & = \frac{2 I (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

编辑：我在 p( )感谢您指出这一点。 $\pi$ $\tau$

1个回答

半柯西是柯西分布的对称半部分之一（如果未指定，则它是预期的右半部分）：

由于柯西右半边的面积为，因此密度必须加倍。因此，您的 pdf 中的 2 （尽管它缺少正如 whuber 在评论中指出的那样）。 $\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

半柯西有很多性质；有些是我们之前可能想要的有用属性。

尺度参数先验的一个常见选择是反伽马（尤其是，因为它在一些熟悉的情况下是共轭的）。当需要弱信息先验时，使用非常小的参数值。

半柯西的尾巴很重，在某些情况下，它也可能被认为信息量很弱。Gelman（例如 [1]）提倡使用半 t 先验（包括半柯西）而不是逆伽马，因为它们对于小参数值具有更好的行为，但仅在 使用大尺度参数时才认为它提供了丰富的信息*。近年来，格尔曼更加关注半柯西。Polson 和 Scott [2] 的论文给出了特别选择半柯西的额外理由。

*您的帖子显示了标准的半柯西。格尔曼之前可能不会选择那个。如果您对标度完全没有感觉，则相当于说标度可能高于 1 或低于 1（这可能是您想要的），但它不一定适合 Gelman 的某些东西为。

[1] A. Gelman (2006)，
“层次模型中方差参数的先验分布”
贝叶斯分析，卷。1, N. 3, pp. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson 和 JG Scott (2012)，
“关于全球尺度参数的半柯西先验”
贝叶斯分析，卷。7，第 4 期，第 887-902 页
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

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