机器算法验证 - 给定上限，一个 Weibull 小于另一个的概率 - 吾爱随笔录

给定上限，一个 Weibull 小于另一个的概率

机器算法验证可能性分布审查威布尔分布

2022-04-17 05:28:20

我有两个随机变量和，代表事件发生时间，来自 Weibull 分布。当出现时，就不能在此之后出现。除此之外，我们可以假设独立。重要的是，我们实际上并没有观察到事件，只有事件。 $X$ $Y$ $Y$ $X$ $Y$ $X$

（如果它有助于使这个更具体：假设事件是一个有机体的一些活动，而事件表示该有机体是否已经死亡。显然在死亡事件之后，不会再发生活动。但无论出于何种原因，我们不能直接观察死亡：我们想根据 [缺乏] 活动来推断它们。） $X$ $Y$

在时间，我没有观察到任何事件。我想计算这是由于事件发生的概率。我相信这是以下两种情况都为真的概率：（1）在当前时间事件，以及（2）事件可能发生之前发生事件。 $t$ $X$ $Y$ $Y$ $t$ $Y$ $X$

我们可以通过 Weibull 分布的累积分布函数得到 (1)：

P (Y < t) = 1 - e x p (- (t / λ_{Y})^{k_{Y}})

$P(Y<t) = 1-exp(-(t/\lambda_Y)^{k_Y})$

其中和是分布的参数。 $k_Y$ $\lambda_Y$ $Y$

但是，我遇到了（2）的问题，（我认为）是：

P (Y < X | X < t, Y < t)

$P(Y<X|X<t, Y<t)$

我不仅在推导方面苦苦挣扎，而且还在考虑条件（即，我们只对事件发生在事件之前的概率感兴趣，因为我们只等待t )。 $P(X>Y)$ $Y$ $X$

1个回答

好的，我已经取得了一些进展。

这篇文章描述了这种一般问题的解决方案：

https://math.stackexchange.com/questions/396386/finding-an-expression-for-the-probability-that-one-random-variable-is-less-than

为简单起见，假设和分别具有密度函数和。那么分子和分母都可以表示为积分。对于分子，我们需要。 $X$ $Y$ $f_X(x)$ $f_Y(y)$
$Pr (X < Y | Y < k) = \frac{Pr ((X < Y) \cap (Y < k)}{Pr (Y < k))} .$ $\Pr(X\lt Y|Y\lt k)=\frac{\Pr((X\lt Y)\cap (Y\lt k)}{\Pr(Y\lt k))}.$ $\int_{y=0}^k\int_{x=0}^y f_X(x)f_Y(y)\,dx\,dy$

我需要稍微修改一下以获得我的，因为有两个条件。但首先，我认为更难的部分是分子。Weibull 分布的 PDF 为 $P(Y<X|X<t, Y<t)$

ν λ x^{ν - 1} exp (- λ x^{ν})

$\nu \lambda x^{\nu-1}\text{exp}(-\lambda x^\nu)$

（这是 PH 参数化。我在执行 AFT 参数化的下一步时遇到了麻烦。）我将其插入另一篇文章的“分子”，然后将其插入 Wolfram Mathematica：

FullSimplify[Integrate[(v*L*x^(v - 1)*Exp[-(L*x^v)])*(n*M*y^(n - 1)*Exp[-(M*y^n)]), {x, 0, U}, {y, 0, y}], L > 0 && M > 0 && n > 0 && v > 0]

这给出了：

exp (- λ_{1} x_{1}^{ν} - λ_{2} y_{2}^{ν}) * (- 1 + exp (- λ_{1} x_{1}^{ν})) * (- 1 + exp (- λ_{2} y_{2}^{ν}))

$\text{exp}(-\lambda_1 x^\nu_1 -\lambda_2 y^\nu_2) * (-1+\text{exp}(-\lambda_1 x^\nu_1))*(-1+\text{exp}(-\lambda_2 y^\nu_2))$

所以我现在有了分子。为了得到分母，我只使用 Weibull 分布的 CCDF：

P (X < t) \cap P (Y < t) = exp (- λ_{1} t^{ν_{1}})) * exp (- λ_{2} t^{ν_{2}}))

$P(X<t) \cap P(Y<t) = \text{exp}(-\lambda_1 t^{\nu_1})) * \text{exp}(-\lambda_2 t^{\nu_2}))$

所以我认为将第一个方程除以第二个方程会给我我想要的。我想运行一些模拟以确认我没有犯任何错误，但我相信我已经找到了解决方案。

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