机器算法验证 - 由齐次泊松过程过程索引的随机变量序列是否严格平稳？ - 吾爱随笔录

由齐次泊松过程过程索引的随机变量序列是否严格平稳？

机器算法验证泊松分布随机过程

2022-03-26 08:41:16

我正在复习考试，不知道如何回答这个问题：

令为参数的齐次泊松过程。令为随机变量序列，同分布，且且。定义的过程是严格平稳的吗？ $\{N_t\}_{t\geq 0}$ $\lambda > 0$ $\{X_k\}_{k\geq 0}$ $E[X_k] = 0$ $Var[X_k] = \sigma^2 < +\infty$ $Y_t = X_{N_t}$

我猜测泊松过程具有独立增量的事实，我们有：

$P(N_{t_2} - N_{t_1} = k) = \dfrac{\lambda (t_2 - t_1))^k}{k!} e^{-\lambda (t_2 - t_1)}$ 很重要，但不重要确定它是如何关联的，任何提示表示赞赏！

1个回答

如果过程和序列是独立的，那么恒等式确实定义了严格平稳的过程。 $(N_t)$ $(X_k)$ $Y_t=X_{N_t}$ $(Y_t)$

为了证明这一点，考虑，然后，对于每个非负时间，有条件地以为条件，过程是这样的，对于每个 , 过程独立于，因此独立于。此外，对于每个，像一样分布，因此是分布如 $Y^s_t=Y_{s+t}$ $s$ $N_s=m$ $(Y^s_t)_{t\geqslant0}$ $t\geqslant0$

Y_{t}^{s} = X_{m + N_{t}^{'}}, N_{t}^{'} = N_{t + s} - N_{s} .

$Y^s_t=X_{m+N'_{t}},\qquad N'_t=N_{t+s}-N_s.$

N^{'}

$N'$

N_{s}

$N_s$

Y^{s}

$Y^s$

N_{s}

$N_s$

m

$m$

(X_{m + k})_{k ⩾ 0}

$(X_{m+k})_{k\geqslant0}$

(X_{k})_{k ⩾ 0}

$(X_k)_{k\geqslant0}$

(X_{m + N_{t}^{'}})_{t ⩾ 0}

$(X_{m+N'_t})_{t\geqslant0}$

(X_{N_{t}})_{t ⩾ 0}

$(X_{N_t})_{t\geqslant0}$ 结果如下。

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