假设我们有一个时间高斯过程$\mathcal{GP}(t;\ m,k)$（GP）平均$m$和协方差函数（又名内核）$k$在某个紧凑的时间间隔内$[0,T]$. 然后，特征值$\lambda$和特征函数$\phi$k 是，对于预定义的度量$\mu$，定义为 Fredholm 积分方程的解，写成

$$\int k(t,t^{\prime}) \phi(t)\ \mathrm{d} \mu(t) = \lambda \phi(t^{\prime}).$$

见等式。（4.36）在 [1] 中了解更多详细信息。

我对特征值如何感兴趣$\lambda_i$,$i \in \mathbb{N}$，与相应协方差矩阵的特征值有关$K \in \mathbb{R}^{N \times N}$一些固定时间$0 \leq t_1 \leq \dots \leq t_N \leq T$, 有条目

$$K_{ij} = k(t_i, t_j)$$

来自对同一个 cov 函数的评估$k$.

我怀疑 cov 函数的特征值之间存在很强的联系$k$和 cov 矩阵$K$原因如下：关于 Karhunen-Loeve 定理的维基百科文章，它利用了 cov 函数的特征值$k$[2]，在某种程度上与 PCA [3] 中的特征值有关，即与 cov 矩阵的特征值有关$K$. 不幸的是，我不明白 [3] 中的解释。因此，我在这里问这些函数和矩阵特征问题之间的关系是什么问题。

作为指针，一位同事告诉我看一下等效内核（[1] 中的第 7.1 节），它显然描述了 GP 回归在连续数据 [4] 的限制下的行为，即如果$N \to \infty$. 我可以直观地看到这可能如何将上述函数 eigenproblem 与矩阵 eigenproblem 联系起来，但我找不到任何关于这种关系的明确陈述。

谢谢 ：）

[1] http://www.gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf [2] https://en.wikipedia.org/wiki/Karhunen–Loève_theorem#Formulation [3] https://en.wikipedia .org/wiki/Karhunen–Loève_theorem#Covariance_matrix [4] https://papers.nips.cc/paper/2004/file/d89a66c7c80a29b1bdbab0f2a1a94af8-Paper.pdf