让$X\sim Bin(n,p)$. 问题是表明UMVUE可以存在$g(p)$除非$g(p)$是多项式$p$最多学位$n$.

对于这种情况$g(p) = \frac{1}{p}$我们可以证明这是不可能的$p \to 0$并没有显示出这样的$\delta(X)$这是公正的$\frac{1}{p}$可以存在。

但是我坚持要证明这对于任何不是多项式的函数都是如此$p$最多学位$n$.

我想这两种方法是：

1. 节目$\sum_{x=1}^n \delta(x) \,{n \choose x}\,p^x (1-p)^{n-x}= g(p)$只有一个解决方案$\delta (x)$如果$g(p)$是这样一个多项式。

2. 显示$\delta(X)$只能与每个无偏估计量不相关$0$如果$\Bbb E[\delta(X)]$是多项式$p$.

但我不确定如何做到这一点。

简单地观察就够了吗

$$\sum_{x=1}^n \delta(x) \,{n \choose x} \, p^x (1-p)^{n-x}$$

是多项式$p$最多学位$n$?