假设其中和是一个协方差矩阵。$\mathbf{X}_1, \dots, \mathbf{X}_n \sim N_p(\mathbf{\mu}, \Sigma)$$\mu \in \mathbb{R}^p$$\Sigma$$p \times p$

假设是样本协方差矩阵，是样本均值，那么我们知道$\hat{\Sigma}$$\bar{\mathbf{X}}$

$$n(\mathbf{\bar{X}} - \mu)^T \hat{\Sigma}^{-1}(\mathbf{\bar{X}} - \mu) \sim T^2_{p,n-1}\,,$$ 其中是具有维数参数和自由度的霍特林 T 平方分布。可以在此处找到有关此的讨论。Hotelling还有另一种分布表示。$T^2_{p,n-1}$$p$$n-1$$F$$T^2$

问：是否存在已知的的分布形式？$Y = \sqrt{n}\hat{\Sigma}^{-1/2}(\bar{\mathbf{X}} - \mu)$

当时，我们知道分布。但是，对于，从这里分布的描述来看，不像多元分布那样分布。$p = 1$$Y \sim t_{n-1}$$p > 1$$t$$Y$$t$