我想将模型拟合到多个观察值，每个观察值都是 k 维二进制向量$(x_1, x_2, ..., x_k)$在哪里$x_i \in \{0,1\}$.

自然，我想拟合多元伯努利分布$\mathbf X = (X_1, X_2, ... , X_k)$其中每个$X_i$是伯努利变量。我意识到有$2^k - 1$这种多元伯努利分布的参数，但为了简单起见，我想通过均值和二阶交互来参数化分布来简化它（忽略高阶交互）：

1. 边际期望$E[\mathbf X] = (p_1, p_2, ..., p_k)$
2. 成对相关$\rho_{ij}, 1 \le i,j \le k$

我已经阅读了许多关于这个分布的论文，发现有时它被称为Ising Model。但是由于我的统计背景有限，我仍然需要一些主要的指针/方向：

1. 给定我的观察结果，如何找到参数的 MLE？
2. 如果我有部分观察 $(x_1, x_2, ..., x_j), j < k$，我如何估计剩余值？换句话说，有条件期望的简单公式吗？ $$E[X_{j+1}, X_{j+2},..., X_k | X_1=x_1, X_2=x_2, ..., X_j=x_j], 1 < j < k$$