这$|$概率论中的符号代表“给定”。您最常看到它用于条件概率 $P(Y|X)$, 的概率$X$给定$Y$. 虽然这是对符号的轻微滥用，但您可能会看到类似

$$Y|X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$$

为了$Y$有条件地$X$服从正态分布。您还会看到它显示分布的一些属性，例如条件期望 $E[Y|X]$, 或方差 $\operatorname{Var}(Y|X)$， ETC。

请注意，类似$X|Y$单独的意义不大。那会是什么？“以另一个随机变量为条件的随机变量”？调节是关于您在查看变量时所采取的观点，而不是变量的属性。只需对分布进行简单的数学操作，您就可以将条件概率“转换”为联合或边际概率，或反转它（贝叶斯定理）。

示例：假设您有一群男人和女人，并且知道他们的惯用手（左/右）。如下表所示

$$\begin{array}{r|c|c | c} &\text{men}&\text{women} &\text{total}\\ \hline \text{left handed}&9&4&13\\\hline \text{right handed}&43&44&87\\\hline \text{total}&52&48&100 \end{array}$$

假设您从该组中随机选择一个人，那么它是$13\%$他们是左撇子的概率。但是如果你知道这个人是女人，那么概率是$4/48 \approx 9 \%$.

为了表达后一种情况，一个事件的概率，给定另一个事件或条件，使用竖线符号$\vert$.

$$P(X\vert Y) = \text{probability of event $X$ given/conditional on event $Y$}$$

所以它是关于两个事件$X$和$Y$正在发生。但是，这不同于$P(X,Y)$, 两者的概率$X$和$Y$正在发生。

鉴于一个人是女性，左撇子的概率不等于$4 \%$某人是左撇子的女性的概率。

---

表达方式$X\vert Y$发生在概率算子内$P()$. 但是您不应该将所有内容作为单个事件来阅读。

• 所以这不是你必须解释它的方式：“$P(\dots)$是点上事件的概率。所以$P(X\vert Y)$是事件的概率$X\vert Y$。”这$X\vert Y$不是事件（正如亨利在评论中指出的那样）。竖条$\vert$向概率算子添加附加参数并引用条件。

这很快就会变得很哲学化。但是，Judea Pearl 的书 Causal Inference for Statistics第 1.3.3 节提供了一个很好的直觉，操作员$|$意味着在常客解释中对数据进行过滤。一个直观的例子是两个有界限的变量$P(X>a|Y<b)$，因此条件化意味着过滤数据，即删除条件条件的部分数据$Y<b$首先不成立。

关于如果$X|Y$是不是一个事件。它不是普通形式的事件，但生成的过滤操作会导致事件。那么哲学部分，贝叶斯解释甚至条件概率可以孤立存在。