我想在@Thomas Lumley 的答案中添加一件事

可以提出以下几点：

$$\begin{align} E[\max(X,a)]&=P(X\geq a)\cdot E[\max(X,a)|X\geq a]+P(X<a)\cdot E[\max(X,a)|X<a]\\ &=P(X\geq a)\cdot E[X|X\geq a]+P(X<a)\cdot a\\ &=P(X\geq a)\cdot E[X|X\geq a]+(1-P(X\geq a))\cdot a\\ &=P(X\geq a)\cdot (E[X|X\geq a]-a)+a \end{align}$$

结合前面的答案，我们得到：

$$\int_a^\infty(1-F(x))dx=E[\max(X,a)]-a=E[\max(X-a,0)]$$

编辑： 正如@Ben 在他的评论中添加的那样，需要注意的是在特殊情况下$a=0$，您恢复了非负随机变量的通常期望值规则：

$$\int_0^\infty(1-F(x))dx=E[\max(X,0)]=E[X]$$

有条件的期望有联系。我会写$S_X(x)=1=F_X(x)$为生存函数。条件生存函数$X\geq a$是

$$S_{a}(x)= \frac{P(X>a \cap X>x)}{P(X>a)}$$ 这是1$x<a$和$S_X(x)/S_x(a)$为了$x\geq a$. 所以条件期望是 $$E[X|X\geq a]=\int_0^\infty S_a(x)\,dx = \int_0^a\,dx + \frac{1}{S_x(a)}\int_a^{\infty} S_X(x)\,dx.$$

重新排列，

$$\int_a^{\infty} S_X(x)\,dx = (E[X|X\geq a]-a)P[X>a]$$

为简单起见，考虑以下情况$X$与密度函数连续$f_X$. 非负随机变量的标准期望规则是利用分部积分改变标准矩积分得到的。我们将在这里使用相同的技术。使用按部分集成和L'Hôpital 规则，我们有：

$$\begin{align} \int \limits_{a}^\infty (1-F_X(x)) \ dx &= \Bigg[ x (1-F_X(x)) \Bigg]_{x=a}^{x \rightarrow \infty} + \int \limits_{a}^\infty x f_X(x) \ dx \\[6pt] &= -a(1-F_X(a)) + \int \limits_{a}^\infty x f_X(x) \ dx \\[6pt] &= -a + a F_X(a) + \int \limits_{a}^\infty x f_X(x) \ dx. \\[6pt] \end{align}$$

因此，我们有一般规则：

$$\begin{align} \mathbb{E}[\max(X-a,0)] &= \int \limits_\mathbb{R} \max(x-a,0) f_X(x) \ dx \\[6pt] &= -a + \int \limits_\mathbb{R} \max(x,a) f_X(x) \ dx \\[6pt] &= -a + a F_X(a) + \int \limits_{a}^\infty x f_X(x) \ dx \\[6pt] &= \int \limits_{a}^\infty (1-F_X(x)) \ dx. \\[6pt] \end{align}$$

在特殊情况下$X$是一个非负随机变量并且$a=0$该方程简化为非负随机变量期望的标准规则。因此，本公式概括了该规则。