机器算法验证 - 澄清 - 随机变量 - 吾爱随笔录 - 问答

澄清 - 随机变量

机器算法验证可能性自习

2022-03-31 23:13:35

我正在撰写 Joseph Blitzstein的《概率论导论》。

定义 3.2.1（离散随机变量）。
一个随机变量 $X$ 是离散的，如果有一个有限的值 $a_1,a_2,...,a_n$ 的列表或一个无限的值 $a_1,a_2,...$ 的列表，使得 $P(X=a_j\ \text{for some}\ j) = 1.$ 如果 $X$ 是离散的 rv，则使 $x$ 的有限或可数无限集称为的支持。 $P(X=x)>0$ $X$

我在这部分遇到了问题： $P(X=a_j\ \text{for some}\ j) = 1.$

这是否意味着 X 取值 $a_i$ 的概率是 100% 确定的？

它不应该像 $\sum_j P(X=a_j) = 1$ 对于一些 $j$ 吗？

2个回答

我认为 Blitzstein 先生在写

P (X = a_{j} for some j) = 1

$P (X=a_j \text{ for some } j)=1$ 时确实意味着

X

$X$ 始终是

a_{1}, a_{2}, \dots

$a_1, a_2, \ldots$ 之一。所以对于一些

来说它总是

a_{j}

$a_j$ 。

j

$j$

我会写

P (X \in {a_{1}, a_{2}, \dots}) = 1

$P(X \in \{a_1, a_2, \ldots\})=1$

符号是本书有意避免求和，但在这种情况下会导致混淆。我更喜欢下面的第二个表达式。

P (X = a_{j} for some a_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} P (X = a_{i}) = 1

$P(X = a_j \text{ for some }a_j) = \sum_{i = 1}^n P\left(X = a_i\right) \,=\, 1$

在你的公式中，如果我解释“for some ”，那是不正确的。变量 X 不等于概率为 1 的特定，但它等于概率为 1 的之一。求和 ”根本没有意义。在下面的等式中，左边是一种更非正式但更传统的方式来省略迭代变量，更明确地转换为右边的表达式。 $j$ $a_j$ $a_j$ $j$ $j$

\sum_{j} P (X = a_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} P (X = a_{i})

$\sum_{j}P\left(X = a_j\right) = \sum_{i = 1}^n P\left(X=a_i\right)$

展望连续随机变量的定义可能会有所帮助。随机变量是连续的或离散的。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇使用更多特征会降低分类器的准确性吗？下一篇任何两个人生日相同的概率？