根据 Banerjee等人的说法。,使用 von Mises-Fisher Distributions (J. Mach. Learning Res. 6 (2005)) 在 Unit Hypersphere 上聚类，您可以估计 von Mises-Fisher 参数$\mu$和$\kappa$以最大的可能性。

让$x_i$成为$n$维度上的点$d$从您的样品中。

让$r = \sum_i x_i$.

让$\overline{r} = \frac{||r||_2}{n}$（从重心到原点的欧几里得距离）。然后

$$\hat{\mu} = \frac{r}{||r||_2}$$

（重心方向的单位向量）和

$$\hat{\kappa} \approx \frac{\overline{r}d - \overline{r}^3}{1 - \overline{r}^2}$$

近似于最大似然估计，要准确找到的估计是（数字上）作为解

$$I_{d/2}(\kappa) / I_{d/2-1}(\kappa) = \overline{r}.$$

$I_m$是第一类阶的修正贝塞尔函数$m$. 该近似值可以用作 Newton-Raphson 迭代的起点——但作者指出，与仅计算近似值的成本相比，对于“高维”数据，这可能“相当慢”。

查看R 的CircStats 包est.kappa()中的函数：

在给定一组角度测量值的情况下，计算 kappa 的最大似然估计值，即 von Mises 分布的浓度参数。

是的，Von-Mises 分布族是指数族，因此您可以像对任何指数族一样找到其参数的最大似然估计：将期望参数设置为充分统计量的平均值$T(x) = x$我们将调用它的大小$\bar r$. 您必须将这些参数转换为您的参数化后才能获得$\kappa$. 请参阅@mic 的等式答案。

以防万一您想知道如何在 Python 中实现 @mic 的解决方案：我会使用scipy.optimize 来查找函数的根：Bessel 函数的比率减去$\bar r$.