机器算法验证 - 具有均匀均值的正态分布 - 吾爱随笔录

具有均匀均值的正态分布

机器算法验证分布正态分布混合模式均匀分布

2022-04-15 06:44:59

我试图理解正态随机变量的分布、均值和方差，均值参数具有均匀分布。根据我的 R 模拟，这种复合分布似乎接近正态分布，平均值等于均匀分布的平均值，方差等于正态和均匀方差之和。

a <- 1
b <- 5
x <- runif(n, min=a, max=b)
std <- 3
c <- rnorm(n, mean=x, sd=std)

c(mean(c), (a+b)/2)
c(var(c), var(x) + std^2)

我的猜测正确吗？我能找到证明吗？网络上关于这种复合分布的信息很少。谢谢。

2个回答

您可以使用总期望定律和总方差定律计算复合分布 $X$

意思是：

E [X] = E [E [X ∣ U]] = E [U] = \frac{b + a}{2}

$E[X] = E \left[ E [X \mid U ] \right] = E[U] = \frac{b + a}{2}$

正如您所观察到的，这是均匀分布的平均值。

方差：

V a r [X] = E [V a r [X ∣ U]] + V a r [E [X ∣ U]] = E [3^{2}] + V a r [U] = 9 + \frac{(b - a)^{2}}{12}

$Var[X] = E[ Var[X \mid U] ] + Var[ E[X \mid U ] ] = E[3^2] + Var[U] = 9 + \frac{(b - a)^2}{12}$

正如您所观察到的，这是两个方差的总和。

复合分布当然可能远非正常。考虑正态分布的标准偏差相对于均匀分布的宽度非常小的情况。

u <- runif(10000)
n <- rnorm(10000, mean=u, sd=0.01)

hist(n, breaks=100)

Bhattacharjee、Pandit 和 Mohan (1963) 描述了与您的问题的特殊情况相关的分布。它假设均匀分布以全局平均值 为中心，并具有界限。 $\mu$ $(\mu-a, \mu+a)$

在标准形式中，它具有概率密度函数

f (z) = \frac{1}{2 a} [Φ (z + a) - Φ (z - a)]

$f(z) = \frac{1}{2a} \left[\Phi\left(z+a\right) - \Phi\left(z-a\right)\right]$

和累积分布函数

F (z) = \frac{1}{2 a} [z Φ (z + a) - z Φ (z - a) + ϕ (z + a) - ϕ (z - a)]

$F(z) = \frac{1}{2a} \left[z\,\Phi\left(z+a\right) - z\,\Phi\left(z-a\right) + \phi\left(z+a\right) - \phi\left(z-a\right)\right]$

其中是标准的普通 cdf，而是标准的普通 pdf。 $\Phi$ $\phi$

它出现在和，然后遵循分布由 Bhattacharjee 等人描述。 $U \sim \mathcal{U}(\mu-a, \mu+a)$ $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ $Z = U+X$

library(extraDistr)

set.seed(123)

u <- runif(10000, -1, 1)
n <- rnorm(10000, mean=u, sd=1)

hist(n, breaks=100, freq = F)
curve(dbhatt(x, 0, 1, 1), -6, 6, add = T, col = "red")

set.seed(123)

u <- runif(10000, -3, 3)
n <- rnorm(10000, mean=u, sd=1)

hist(n, breaks=100, freq = F)
curve(dbhatt(x, 0, 1, 3), -6, 6, add = T, col = "red")

Bhattacharjee, GP, Pandit, SNN 和 Mohan, R. (1963)。涉及矩形和正态误差分布的尺寸链。技术计量学，5, 404-406。

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