在 2 球体上获得随机方向的一个好方法可能是均匀，在均匀。然后取点 $z$$[-1,1]$$\theta$$[0,2\pi]$

$$(\sqrt{1-z^2} \cos \theta, \sqrt{1-z^2} \sin \theta, z).$$

我不会做数学来说明为什么这些在球体上统一给出点。这并不难。

对于大尺寸，最好的方法可能是从高斯分布进行归一化。您可以通过查看概率密度函数来了解其工作原理。高斯函数是所以当你将相乘时，你会得到显然是球对称的。$n$$x_1 \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots,x_n)$

$$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2},$$ $n$ $$\frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} e^{-\frac{1}{2}\sum_i x_i^2},$$

如果您在 -1 和 1 之间选择 3 个独立的随机数，您基本上是在选择立方体内的一个点。从该图像中，您可以很容易地看到，在归一化之后，您的向量指向立方体主对角线的可能性比它指向 ，这仅仅是因为有立方体内沿主对角线的点比沿任何坐标轴的方向多。$\sqrt{3}$$x$$\sqrt{3}$

正如 Jerry Schirmer 指出的那样，您可以采用两个角度，然后从那里构建您的矢量，基本上使用球坐标。这个想法也是在这里发展起来的。则摆脱它们，从而有效地将您的 3-D 点限制在一个球体内。$x^2 + y^2 + z^2 > 1$

至于对该主题的一般阅读，您希望寻找任意分布的采样，尽管您会发现大部分内容都是针对一维分布的，最通用的方法可能是逆变换采样。