机器算法验证 - 这种矢量产品的名称是什么？ - 吾爱随笔录

这种矢量产品的名称是什么？

机器算法验证术语符号线性代数

2022-03-23 10:22:20

在制定某种算法时，我必须描述向量之间的以下操作。

给定，函数定义为 $x, y \in \mathbb{R^d}$ $f(\cdot, \cdot): \mathbb{R^d} \times \mathbb{R^d} \to \mathbb{R^{d^2}}$

f (x, y) = [x_{1} y_{1}, x_{1} y_{2}, \dots, x_{1} y_{d}, x_{2} y_{1}, x_{2} y_{2}, \dots, x_{d} y_{d}]

$f(x,y) = [x_1 y_1, x_1 y_2, \cdots, x_1 y_d, x_2 y_1, x_2 y_2, \cdots, x_d y_d]$

正如你所看到的，这个函数与集合论中的笛卡尔积非常相似，这让我认为这可能是一个具有特定名称的众所周知的运算。我对吗？

我知道可以通过将列向量和行向量（即）之间的矩阵乘法相乘来实现此操作，但是我的操作需要可泛化以具有两个以上的输入向量，例如。 $x^Ty$ $f(\cdot, \cdot, \cdot): \mathbb{R^d} \times \mathbb{R^d}\times\mathbb{R^d} \to \mathbb{R^{d^3}}$

2个回答

让。这两个维列向量的Kronecker 积是以下维列向量 $\mathrm x, \mathrm y \in \mathbb R^d$ $d$ $d^2$

x \otimes y = [\begin{matrix} x_{1} y \\ x_{2} y \\ ⋮ \\ x_{d} y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{1} y_{1} \\ x_{1} y_{2} \\ ⋮ \\ x_{1} y_{d} \\ x_{2} y_{1} \\ x_{2} y_{2} \\ ⋮ \\ x_{2} y_{d} \\ ⋮ \\ x_{d} y_{1} \\ x_{d} y_{2} \\ ⋮ \\ x_{d} y_{d} \end{matrix}]

$\mathrm x \otimes \mathrm y = \begin{bmatrix} x_1 \mathrm y\\ x_2 \mathrm y\\ \vdots\\ x_d \mathrm y\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 y_1\\ x_1 y_2\\ \vdots\\ x_1 y_d\\ x_2 y_1\\ x_2 y_2\\ \vdots\\ x_2 y_d\\ \vdots\\ x_d y_1\\ x_d y_2\\ \vdots\\ x_d y_d\end{bmatrix}$

你的方向问题：

在二维情况下，您正在寻找外部产品。欧几里得内积是而外积是。外积生成一个矩阵。 $x^T y$ $xy^T$
在一般情况下，您要求的是张量积。
您所要求的也是向量的克罗内克积。（见罗德里戈·德·阿泽维多的回答。）

一些编程评论：

注意row major 或 column major，即如何处理多维数组。
这是标准的线性代数，如果您正在做任何中等到繁重的工作或性能很重要，我建议您使用线性代数库。不要重新发明轮子。一些讨论是here。
- BLAS/ LAPACK是标准的、稳定的和快速的。但是调用 BLAS/LAPACK 函数很痛苦。

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