使用“68-95-99.7”规则，我们几乎可以立即在脑海中解决这个问题。 我将详细解释该过程，因为这很重要。 答案没有什么意义：这个问题的重点是帮助我们学会思考概率分布。

68-95-99.7 规则中的这些数字是（大约）正态变量位于其平均值的 1、2 和 3 个标准差内的概率百分比。通过从 100% 中减去这些数字，可以得出正态变量超出其平均值的 1、2 和 3 个 SD 的机会分别约为 32、5 和 0.3%。由于这种分布是对称的，我们可以将这些数字中的每一个分成两半，以找出在给定方向上超出平均值的 1、2 和 3 个 SD 的机会：这些值分别约为 16%、2.5% 和 0.15% . （图中显示了稍微更准确的值。）

该图使用区域来表示机会。例如，最左边的值 16% 是曲线下位于 -1 左侧的所有面积的比例。与数字相关的“尾部区域”$Z = -3,-2,-1, 1,2,3$被标记。（这些区域重叠；例如，16% 的值包括 2.3% 和 0.13% 的值所占的区域。）

有效思考概率的人会使用这样的心理数字。

转向问题中的数据： 0.0275 是 0.0276 均值左侧的 0.0001，而 0.0278 是均值右侧的 0.0002：两倍。因此，我们需要将未知数量的标准差之间的概率的 98% 包围在均值的左侧——称之为倍数$-Z$表示它在左侧 - 并且是平均值右侧标准差的两倍，因此是$2Z.$

等效地，100 - 98 = 2% 的概率必须超出此范围。该图显示 2.3% 的概率位于左侧$-Z=-2$基本上 0% 位于$Z=2\times 2=4,$ 所以$Z=2$将是一个准确的猜测（尽管有点低）。

达到这一点所需的唯一算术包括减法、除法（0.0002 / 0.0001）和减半。

如果您想更接近“答案”，请查找（或计算）$Z$其中 2% 的概率在$-Z$： 那是$Z=2.054.$ 仍然是基本上 0% 在右边的情况$2Z \approx 4.1.$ （因为实际上还有一点点概率超出$4.1,$的正确值$Z$必须比$2.054.$)

无论哪种方式，我们得出的结果是$Z$是在某个地方$2$或者$2.054.$

最后，回到问题中的数据：$Z$标准差等于$0.0001$（或者$2Z$标准差等于$0.0002:$这都一样）。 因此，我们的答案是

• 快速而肮脏，基于 68-95-99.7 规则：$0.0001/2 = 0.00005.$

• 更精致一点，基于表查找：$0.0001/2.054 \approx 0.0000486\,91.$

我们知道这两个答案都会有点过大，但第二个必须相当准确。

经过这个思考过程，我们可以R立即写下以下命令，因为它们直接执行计算（尽管更准确）：

(Z <- uniroot(function(z) pnorm(2*z)-pnorm(-z) - 0.98, c(2,3))$root)

2.054 158

这与我以前得到的三位十进制数字表一致$2.054.$

(0.0276 - 0.0275) / Z

4.86 8176e-05

它与我们的第一个答案几乎一致，几乎是两个有效数字，第二个答案几乎是四个有效数字——比我们真正应得的要多。

所以你可以使用 R 来得到答案：

target=function (sd){
  b=pnorm(0.0278, mean = 0.0276, sd = sd)
  a=pnorm(0.0275, mean = 0.0276, sd = sd)
  return(abs(b-a-0.98))
}
sd=optim(1,target)
sd$par

这给出了：

> sd$par
[1] 4.868167e-05

我们正在做的是使用数值方法来计算$\sigma$这样

必须用数值​​求解。这是R使用简单求根算法的解决方案。我们简单地解方程

在哪里$F_{\mu,\sigma}(\cdot)$表示正态分布的累积分布函数，均值$\mu$和标准差$\sigma$.$b$和$a$（和$b>a$) 分别是上限和下限，并且$p$($0<p<1$) 是介于两者之间的值的比例$a$和$b$.

该函数find_sigma非常通用：它接受固定参数$a$,$b$,$\mu$和$p$.

find_sigma <- function(sigma, a, b, mu, prop) {
  (pnorm(b, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(a, mean = mu, sd = sigma)) - prop
}

uniroot(
  find_sigma
  , lower = .Machine$double.xmin
  , upper = 1
  , a = 0.0275  # lower bound
  , b = 0.0278  # upper bound
  , mu = 0.0276 # mean
  , prop = 0.98 # proportion between a and b
  , maxiter = 10000
  , tol = 1e-20
  # , extendInt = "yes"
)

$root
[1] 4.868168e-05

标准差是$0.000048682$正如其他答案所发现的那样。

我相信没有简单的方法来计算这个。我建议研究它的数值解决方案。

稍微解释一下，这是正态分布：

$f(x|\sigma, \mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

区间 [a, b] 中值的百分比由下式给出：

$F(a, b)=\int_a^b \! f(x|\sigma, \mu)dx = \int_{-\infty}^b \! f(x|\sigma, \mu)dx - \int_{-\infty}^a \! f(x|\sigma, \mu)dx$

你知道 F(a,b)，你知道 a 和 b，你知道平均值$\mu$. 你需要做的是解决这个方程$\sigma$. 但是，积分是误差函数，无法解析求解，因此无法求解$\sigma$.

使用数值方法，它变得更容易 - 例如，您可以计算具有固定的正态分布$\sigma$对于 1000 x 值，计算 a 和 b 之间的面积，然后迭代更改$\sigma$直到找到最接近 0.98 的值。

大多数编程语言中也有计算给定参数的累积正态分布的函数，所以如果你想要更高的精度，你可以使用这些函数（再次迭代$\sigma$）。