我将使用陈词滥调的例子——抛硬币。请注意，我在此示例中放弃了严谨性和一些重要假设，但这很好。

假设我有一枚普通硬币——也就是说，一旦我翻转它，它有 50% 的机会正面朝上，50% 的机会朝反面朝上。

因此，如果我将其翻转 10 次，我预计会出现 5 个反面和 5 个正面。但我很可能得到 6 个正面和 4 个反面。或 7 头和 3 尾。

但是等一下 - 为什么我会期待 5 个反面和 5 个正面？也许这很明显——因为每次翻转都有 50% 的机会正面朝上——所以$50\% \times 10 = 5$. 换句话说，我抛硬币练习的预期值是 5 个正面（因此是 5 个反面）。

现在让我们让这个例子更有趣。让我们掷硬币 100 次。但是检查一下 - 我的预期值没有任何变化。我仍然预计一半的投掷是正面 - 即 50 个正面。

但实际上我可能不会得到 50 个正面。假设我有45个头。这与我的预期值 50 相差甚远吗？我应该对这个结果感到惊讶吗？你会吗？可能不是。如果我告诉你我只有 20 个正面，那么你可能会认为有问题。你认为这是为什么？

这是一种直观的方差概念。我们的结果偏离预期值的可能性有多大？有些事情（比如抛硬币）很有可能偏离其预期值。其他的没有。

我们可以在这上面加上一个数字。在某些情况下，为了数学上的方便和可解释性，我们可以取这个数字的平方根。这就是标准差。

您在上面提到的定义在技术上更准确，并且具有直接的数学公式，因此诸如概率加权和随机变量之类的术语。

但是如果你理解了抛硬币的例子，那么你就会理解这些术语的精神。

随机变量是一个量，其值在测量时看起来是随机的。正如@ilan man 所描述的，在掷硬币实验中观察正面或反面就是一个简单的例子。您还可以将随机变量定义为最后十次投掷硬币的平均值（例如，将 H 映射到 1 并将 T 映射到 0）。你每天上班的时间也是一个随机变量。你每天早上的体重是一个随机变量。等等。

我们通过它们的分布来表征随机变量，从广义上讲，它描述了特定值被观察到的可能性。随机变量的期望值是该分布中心的量度，而方差是其分布的量度。（标准偏差是方差的平方根，这是一个很好的衡量标准，因为它与变量具有相同的单位 - 粗略地说，它衡量的是分布的“宽度”。）

请注意，这两个度量都是“非稳健的”，这意味着它们对异常值很敏感。“中心”和“宽度”也有“稳健”的统计数据。中位数是指点数越来越多的值，它是质心的稳健度量。由于它仅取决于较大或较小值的计数，因此远离中位数的细节不会对中位数产生影响。有许多稳健的宽度度量，但与中位数最相似的是“中位数绝对增量”，即

可能对某人来说，了解期望值如何会有所帮助$\largeμ$, 方差$\largeσ^2$和标准差$\largeσ$与随机变量的正态分布相关。

在公式中：

$f(x) = \Large\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

在图表上：

对于正态分布，离均值小于一个标准差的值占集合的68.27%；而平均值的两个标准差占95.45%；三个标准差占99.73%。 来源：正态分布

以及带有随机变量的真实示例。NBA球员的身高均服从正态分布：

我怀疑概率密度函数是在物理学中的密度之后调用的。因此，平均值对应于物体的质心。