机器算法验证 - 发现bb这样是鞅e5乙吨- b te5Bt−bt - 吾爱随笔录

我有并且是时间的布朗运动。 $X_t = e^{5B_t}$ $B_t$ $t$ $M_t = X_t \cdot e^{-bt}$

我需要为找到一个值，使得是鞅。 $b$ $M_t$

然而，我遇到了困难。

E [e^{5 B_{t}} e^{- b t} | F_{s}] for s \leq t

$\mathbb{E}[ e^{5B_t}e^{-bt} | \mathcal{F}_s] \text{for} s\leq t$

= e^{- b t} E [e^{5 B_{t}} | F_{s}]

$= e^{-bt}\mathbb{E}[ e^{5B_t} | \mathcal{F}_s]$

= e^{- b t} E [e^{5 (B_{t} - B_{s}) + 5 B_{s}} | F_{s}]

$= e^{-bt}\mathbb{E}[ e^{5(B_t-B_s)+5B_s} | \mathcal{F}_s]$

= \exp {\frac{25 (t - s)}{2} + 5 B_{s} - b t}

$=\exp\left\{\frac{25(t-s)}{2}+5B_s-bt\right\}$

现在因为是鞅，如果 $M_t$ $E[M_t | \mathcal{F}_s] = M_s$

我们要求

\exp {\frac{25 (t - s)}{2} + 5 B_{s} - b t} = \exp {5 B_{s} - b s}

$\exp\left\{\frac{25(t-s)}{2}+5B_s-bt\right\} = \exp\{5B_s-bs\}$

这不是不可能解决的吗？还是我犯了一个错误？

编辑： $b= 12.5$