正如 whuber 所指出的，的一致性应该首先在正确规范的假设下进行检查，就像我们通常对所有估计器所做的那样。检查在错误规范下的一致性会发生什么是另一回事，即在包含不相关变量或排除相关变量或功能错误规范的情况下。 $\widehat{R^2}$

在框架中，总体可以定义为$R^2$$y = X\beta +u$

$$R^2_{pop} \equiv \frac {\text{Var}(X\beta)}{\text{Var}(y)}=1-\frac{\text{Var}(u)}{\text{Var}(y)} = 1-\frac{\sigma^2}{\text{Var}(y)}$$

通过编写上述内容，我们基本上假设存在并且是有限的。$\text{Var}(y)$

样本估计器可以写成

$$\widehat{R^2} = 1- \frac{[1/(n-k)]\sum\hat u_i^2}{[1/(n-k)]\sum(y_i-\bar y_i)^2}$$

在标准假设和正确规范下，。此外，我们假设一个独立同分布的样本，并且的方差存在并且是有限的。因此，该方差的样本类似物将是它的一致估计量。$1/(n-k)]\sum\hat u_i^2 \xrightarrow{p} \sigma^2$$y$$[1/(n-k)]\sum(y_i-\bar y_i)^2 \xrightarrow{p}\text{Var}(y)$

因此，在正确的规范下，并且由于可以将概率限制输入到表达式中，

$$\widehat{R^2} \xrightarrow{p} R^2_{pop}$$ 。

包含不相关变量（或排除相关变量），即回归矩阵中的错误指定，将仅影响误差方差估计量，而不影响因变量方差估计量，因为最后一个仅使用的数据而不是的数据计算。所以：只要指定错误会导致误差方差估计量不一致，估计量也会不一致。$y$$X$$\widehat{R^2}$