机器算法验证 - 使用中心极限定理 - 吾爱随笔录

使用中心极限定理证明对于， $x>0$
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^{n}} \sum_{k : | 3 k - 2 n | \leq \sqrt{2 n} x} (\binom{n}{k}) 2^{k} = \int_{- x}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{u^{2}}{2}} d u .$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^n} \sum_{k:|3k-2n| \leq \sqrt{2n}x} \binom{n}{k} 2^k = \int^{x}_{-x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du.$

好的，所以我知道 $\int^{x}_{-x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du = \Phi(x)-\Phi(-x)$ 。我也知道 CLT 是，如果我们让 $X_1, X_2,...,X_n$ 表示来自具有均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的分布的随机样本的观察值。然后随机变量 $Y_n = (\sum^{n}_{i=1}X_i-n\mu)/\sqrt{n}\sigma$ 在分布上收敛到一个随机变量，该随机变量具有均值为零和方差的正态分布1. 我将 RHS 扩展为一个小的 $n$ ，例如 $n=4$ 。项的数量取决于我们使 $k$ 有多大 $x$ . 我对我应该如何操纵 RHS 以放入我们可以使用 CLT 的形式感到困惑。谁能帮我？