参考

$$x \sim \log \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \\ \text{if} \\ p(x) = \frac{1}{x \sqrt{2\pi} \sigma} e^{- \frac{\left( \log(x) - \mu\right)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0$$

在哪里

$$\text{E}[x] = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}.$$

注意

$$y \sim \log \mathcal{N}(m, v^2) \iff \log(y) \sim \mathcal{N}(m, v^2),$$

根据此问答。

回答

将正态分布拟合到记录数据是否等同于将对数正态分布拟合到原始数据？

理论上？在大多数情况下是的（参见上面的逻辑等价）。我发现明确使用对数正态分布有用的唯一案例是污染数据的案例研究。在这种情况下，重要的是根据污染浓度对工作日和周末进行不同的建模（$\mu_1 > \mu_2$在先前的*中），但具有两个对数正态分布的预期值，没有限制（我必须允许$e^{\mu_1 + \frac{1}{2}\sigma_1^2} \le e^{\mu_2 + \frac{1}{2}\sigma_2^2}$）。每次测量是在哪一天进行的都是未知的，因此必须推断出单独的参数。

您当然可以争辩说，这可以在不调用对数正态分布的情况下完成，但这是我们决定使用的并且它有效。

我试图用一些玩具数据对此进行测试，并意识到我什至不知道为什么与对数正态分布相关的均值对数不是当你取对数正态分布的平均值时得到的结果。

其原因只是我们在支撑上的距离概念的结果。自从$\log$是单调递增函数，对数变换变量保持顺序。例如，对数正态分布的中位数就是$e^\mu$，对数中位数的指数（因为正态分布的平均值也是它的中位数）。

但是，那$\log$函数只保留顺序，而不是距离函数本身。均值与距离有关：均值只是在欧几里得意义上最接近所有其他点的点，当点按其概率加权时。所有对数值都被压缩到$0$以不均匀的方式（即，较大的值被压缩得更多）。事实上，对数正态分布的均值的对数高于对数值的均值（即$\mu$） 经过$\sigma$：

$$\log \left(e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} \right) = \mu + \frac{1}{2} \sigma^2 > \mu.$$ 也就是说，对数的平均值被压缩为分布分布的函数（即，涉及$\sigma$) 由于$\log$函数以不均匀的方式压缩距离。

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*附带说明，这些先验中的人为约束往往不如其他用于推断/分离分布的方法。

我想补充一下，您正确理解对数转换和均值之间的关系。

但lnorm使用自然对数，而不是以 10 为底。此外，在fitdist通话中，您正在尝试将对数正态分布拟合到已经对数转换的数据（请参见下面的正确代码）。

library(fitdistrplus)

set.seed(1)
test <- rnorm(1000, mean=100)
test[test<=0] <- NA #Unnecessary since no values <= 0, but just to prove
test<-na.omit(test)

log.test <- log(test)
mean(log.test)
sd(log.test)
#4.605 is mean for log.test
#0.01035277 is sd for log.test

fitdist(test, dist="lnorm", method="mle")
# "meanlog" is 4.6050002, "sdlog" is 0.0103476
fitdist(log.test, dist="norm", method="mle")
# "meanlog" is 4.6050002, "sdlog" is 0.0103476