机器算法验证 - 这个关于总和的条件期望的陈述是真的吗？ - 吾爱随笔录 - 问答

这个关于总和的条件期望的陈述是真的吗？

机器算法验证分布随机变量条件期望

2022-03-29 17:21:48

对于随机变量 (RV)和的期望，确实。我的问题是，当调节 RV 向量时，。感谢您的启发性答案！ $X$ $Y$

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

Z_{1... J}

$Z_{1...J}$

E (X + Y | Z_{1... J}) = E (X | Z_{1... J}) + E (Y | Z_{1... J})

$E(X+Y|Z_{1...J})=E(X|Z_{1...J})+E(Y|Z_{1...J})$

1个回答

假设和是可积的。条件期望随机变量，对于 \生成的 sigma 场，并且是 -可测量的。因此，因此 $X$ $Y$ $\mathrm{E}[X\mid Z]$

\int_{A} E [X ∣ Z] d P = \int_{A} X d P

$\int_A \mathrm{E}[X\mid Z]\,dP = \int_A X\,dP$

A

$A$

σ (Z)

$\sigma(Z)$

Z

$Z$

σ (Z)

$\sigma(Z)$

\int_{A} (E [X ∣ Z] + E [Y ∣ Z]) d P = \int_{A} E [X ∣ Z] d P + \int_{A} E [Y ∣ Z] d P

$\int_A \left(\mathrm{E}[X\mid Z] + \mathrm{E}[Y\mid Z]\right)\, dP = \int_A \mathrm{E}[X\mid Z]\,dP + \int_A\mathrm{E}[Y\mid Z]\, dP$

= \int_{A} X d P + \int_{A} Y d P = \int_{A} (X + Y) d P .

$= \int_A X\,dP + \int_A Y\,dP = \int_A \left(X+Y\right) \,dP \, .$

E [X ∣ Z] + E [Y ∣ Z] = E [X + Y ∣ Z]

$\mathrm{E}[X\mid Z] + \mathrm{E}[Y\mid Z] = \mathrm{E}[X+Y\mid Z]$ 概率为一。

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