这是一个将分布与 3 个参数匹配的优化问题：2 个分位数和众数。

事实上，即使您之前使用的函数也会从优化中返回估计值。如果您从那些计算分位数值$\alpha, \beta$它给你的参数，你会发现它们不完全匹配：

> qbeta(p=c(0.025, 0.975), shape1=2.44, shape2=38.21)
[1] 0.01004775 0.14983899

我们将定义一个目标函数，用于计算已知和优化的分位数值与模式之间的平方误差，对于给定的参数集$\alpha,\beta$分布的（编码在params向量中）：

objective.function <- function(params) {
  alpha <- params[1]
  beta <- params[2]

  intended.quantiles <- c(0.01, 0.15)
  calculated.quantiles <- qbeta(p=c(0.025, 0.975), shape1=alpha, shape2=beta)
  squared.error.quantiles <- sum((intended.quantiles - calculated.quantiles)^2)

  intended.mode <- 0.05
  calculated.mode <- calculate.mode(alpha, beta)
  squared.error.mode <- (intended.mode - calculated.mode)^2

  return(squared.error.quantiles + squared.error.mode)
}

calculate.mode <- function(alpha, beta) {
  return((alpha-1) / (alpha+beta-2))
}

你已经有了一些好的起始值$\alpha, \beta$，所以让我们准备好这些：

starting.params <- c(2.44, 38.21)

顺便说一句，这就是使用这些初始估计参数化的 Beta 分布的 PDF 的样子。红线是实际的分位数和模式，蓝线是您要匹配的。正如您所建议的，分位数看起来不错，但模式已关闭：

现在我们使用nlm优化函数来估计最优值$\alpha^*, \beta^*$，从那些初始值开始。算法收敛：

nlm.result <- nlm(f = objective.function, p = starting.params)
optimal.alpha <- nlm.result$estimate[1]
optimal.beta <- nlm.result$estimate[2]

所以优化后的估计是：

$\alpha^* = 3.174725$

$\beta^* = 44.94454$

而这些最优参数对应的分位数和众数分别为：

> qbeta(p=c(0.025, 0.975), shape1=optimal.alpha, shape2=optimal.beta)
[1] 0.01499578 0.15042877
> calculate.mode(optimal.alpha, optimal.beta)
[1] 0.04715437

重新创建 Beta PDF 的绘图，这次使用新参数，我们可以看到模式匹配得更好，但代价是更低的$2.5\%$分位数：

可能的增强功能：

• 这是一种快速实现，可能无法很好地处理极端值和数值问题。仅在 2 个分位数的情况下查看此答案以获得更好的代码。
• 研究受约束的优化包，其中问题将被表述为估计 2 个参数 ($\alpha, \beta$) 受约束$\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2} = 0.05$