$\require{mediawiki-texvc}$令成为一个统计量，并假设我们有一些随机变量（数据）的统计模型，假设是根据分布分布的，是一个模型函数（通常是密度或概率质量函数），它只知道直到参数，这是未知的。$T=T(X)=T(X_1,X_2, \dotsc, X_n)$$X$$X$$f(x;\theta)$$f$$\theta$

那么统计量的分布取决于未知参数，但作为数据不依赖于。这只表示您可以根据一些观察到的数据计算的实际值，而无需知道参数的值。这很好，因为你不知道，所以如果你需要来计算，你将无法计算。那会很糟糕，因为你甚至无法开始你的统计分析！$T$$\theta$$T$$X$$\theta$$T$$\theta$ $\theta$$\theta$$T$$T$

但是，的分布仍然取决于的值。这很好，因为这意味着观察的实际值你可以猜出一些关于的东西，也许可以计算 \theta 的置信。如果的所有可能值，的分布是相同的，那么观察的值不会教给我们任何关于的信息！$T$$\theta$$T$$\theta$$\theta$$T$$\theta^\P$$T$$\theta$

因此，这归结为：您必须区分作为数据函数的的分布。第一个不依赖于，第二个依赖。$T$$T(X)$$\theta$

$\P$：这样的统计数据称为辅助统计。它可能是有用的，但不是直接的，单独用于推断。$\theta$

虽然其他答案（到目前为止）非常中肯且有效，但我想为与基准推理（Fisher 的宠物理论）和一种称为“完美抽样”（或“从过去采样”）。

由于随机变量是从（概率）空间到（或）的可测函数， ，如果函数的分布依赖于 ，则函数本身可能依赖于参数 theta ，即。例如，如果表示的 cdf ，我们可以写成其中是一个统一的随机变量。在这个意义上，（和样本$(\Omega,\mathbb{P})$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^n$$X:\Omega\to\mathbb{R}$$\theta$$\theta$$X=\Psi(\omega,\theta)$$F_\theta$$X$$X=F_\theta^{-1}(U)$$U$$\mathcal{U}(0,1)$$X$$(X_1,\ldots,X_n)$也）可以写成 [unknown] 参数和固定分布 [unobserved] 随机向量的 [known] 函数， 这种表示对于模拟非常有用，无论是用于从生成（伪）样本（如在逆 cdf 方法中），还是用于实现“完美”模拟。中的方程反转为基准推理中的分布来进行推理。被埃夫隆费舍尔称为最大的错误。$\theta$$\xi$

与前面的答案相关，的真值]的这种 [分布] 依赖性并不意味着可以建立一个依赖于的因为在上述方程中. 这是进行推理的重点。$X$$\theta$$\theta$$\theta$$\xi$

这里的混淆源于将随机变量与其分布混为一谈。为了明确这个问题，随机变量不是模型参数的函数，而是它的分布。

回到它们的基础，你有一些概率空间，它由样本空间、该空间上的一类子集和 theta索引 theta 类组成. 现在，随机变量只是定义在域上的映射。随机变量本身不依赖于参数，因此将其写成函数是错误的。当然，X 的概率取决于\$\Omega$$\mathbb{P}_\theta$$\theta$$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$\Omega$$\theta$$X(\theta)$$X$$\theta$，因为后者会影响样本空间上的概率测度。但是，它不会影响样本空间本身。$\dagger$

因此，当您处理statistic时，它只是观察到的随机变量的函数，它也不依赖于，但它的分布通常依赖。（如果不是，这是一个辅助统计，）$\theta$

$\dagger$这种处理将作为概率度量的指标，但在贝叶斯处理下也会出现相同的结果，其中被视为的行为根据参数有条件地处理。$\theta$$\theta$$\Omega$$X$