机器算法验证 - 结合不确定的测量 - 吾爱随笔录

结合不确定的测量

机器算法验证置信区间重复测量测量误差错误传播

2022-03-28 11:37:51

我在位置的桌子上有一个球。 $x', y'$

我正在使用许多不同的标尺来测量球的坐标。我用个不同的标尺来做这个，所以。每次测量都带有不确定性用均值 0 和不相关但已知的方差绘制。 $x_i, y_i$ $N$ $i = 1\ldots N$ $\epsilon_{x,i}, \epsilon_{y,i}$ $\sigma_{x,i}^2, \sigma_{y,i}^2$

球的位置没有改变，但我对它的位置进行了许多嘈杂的测量。我怎样才能结合所有这些测量来给出我对真实坐标最佳猜测？ $x',y'$

2个回答

如果我正确理解您的问题，这听起来像您需要逆方差加权。

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-variance_weighting

估计值将由下式给出 $x'$

\hat{x} = \frac{Σ_{i} x_{i} / σ_{x, i}^{2}}{Σ_{i} 1 / σ_{x, i}^{2}}

$\begin{equation} \hat{x} = \frac{\Sigma_ix_i/\sigma^2_{x,i}}{\Sigma_i1/\sigma^2_{x,i}} \end{equation}$

你说你的测量中的不确定性是“iid”。如果它们有不同的方差，那么它们就不是相同的，只是独立的。

为了使逆方差加权起作用，它们只需要独立。

组合值上的误差平方反比是各个误差的平方反比之和：

\frac{1}{σ^{2}} = \sum_{i} \frac{1}{σ_{x, i}^{2}}

$\frac{1}{\sigma^2} = \sum_i \frac{1}{\sigma_{x,i}^2}$

有关推导，请参阅任何实验物理手册的统计方法部分。

（每个测量值都有一个 x 和 y 值这一事实不会增加任何复杂性；只有 x 值对组合 x 值有贡献，只有 y 值对组合 y 值有贡献。）

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