如果正面概率已知

如果已知正面概率，那么您不是在询问置信区间（查看此处和此处了解定义和更多详细信息），而是询问分布分位数。如果你掷硬币次并观察到 n 次正面，那么掷硬币可以用由和掷正面概率参数化的二项分布来描述。如果您问次抛掷中观察到或更多正面的概率是多少？” ，你会问累积分布函数$n$$x \le n$$n$$p$$x$$n$

$$\Pr(X \le x) = F_X(x) = q$$

quantile 函数回答了相反的问题，即“对于给定的值，满足x 的值是多少？” $x$$\Pr(X \le x) = q$$q$,

$$F_X^{-1}(q) = x$$

更准确地说，由于离散分布的累积分布函数是阶跃函数，因此我们需要一个广义逆分布函数

$$F_X^{-1}(q) = \inf \{\, x \in \mathbb{R}: F_X(x) \geq q \,\}$$

二项分布没有封闭形式的分位数函数，但大多数统计软件都允许您进行数值计算（例如qbinomR 中的函数）。对于像二项式这样的离散分布，它也可以“手动”计算，因为您可以计算每个，然后简单地选择于感兴趣的概率。$q_i$$x_i = 0,1,2,\dots,n$$q_i$

如果正面概率未知

如果，如后面评论中所述，我们正在处理“其属性完全未知”的假设硬币，那么这是一个不同的问题。的二项式分布，但“未知属性”可以理解为假设正面概率是一个随机变量。正如amoeba和Xi'an在下面的评论中所注意到的，这可以假设为贝叶斯问题，就beta-binomial 模型而言。$X$$p$

由于是随机的并且可以是任何东西，我们假设它是一个“均匀”先验，即参数的beta 分布。如果我们多次抛硬币，那么我们可以更新我们的先验以获取更多信息。由于 beta 是二项分布的共轭先验和和分位数感兴趣的可以从和参数化的后验beta 分布计算。$p$$\alpha = \beta = 1$$\alpha' = \alpha + \text{number of heads}$$\beta' = \beta + \text{number of tails}$$\alpha'$$\beta'$

使用理论分位数可以很容易地获得感兴趣的区间。在这种情况下，可能会获得两种不同的间隔：

1. 正面数量的区间，可以从后验预测分布计算，在这种情况下是beta-二项分布，或$x$

2. 可以从 beta 分布计算的可能值的区间。$p$

如上所述，可以在看到任何来自由 \alpha = \beta = 1 参数化的先验分布的数据之前计算间隔，在看到一些数据并对其进行更新之后，从和参数化的后验分布计算间隔。每次观察新数据时，您都可以更新后验数据，以使您的估计越来越精确。$\alpha = \beta = 1$$\alpha'$$\beta'$

假设硬币翻转是独立的，正面的数字具有均值 np 和方差 np(1-p) 的二项分布，其中 n 是样本大小，p 是真正的成功概率。要构建区间，您首先要指定置信水平（通常为 95%）。您可以使用所谓的 Clopper-Pearson 方法计算精确二项式的置信区间。如果样本量很大，例如您提出的 500 作为示例，那么您可以使用正态近似来构造区间。如果区间包含 0.5，则您不能拒绝您拥有公平硬币的假设。如果 0.5 位于区间之外，您会得出结论，硬币有偏差，显着性水平等于 1 - 置信水平，置信水平以比例表示。