写$\rho$对于优势比，$\beta=\Pr(E)$,$\gamma=\Pr(O)$. 四个独立方程是

$$\cases{a+b=\beta \\ a+c=\gamma \\ a+b+c+d=1 \\ ad = \rho bc.}$$

添加前两个节目

$$b+c = \beta + \gamma - 2a. \tag{1}$$

将前两个方程相乘并使用 $(1)$产量

$$bc = \beta\gamma - (\beta+\gamma)a + a^2.\tag{2}$$

将第三个方程乘以$a$, 用第四个重新表达$ad$并插入$(1)$和$(2)$给

$$a^2 + a(\beta+\gamma-2a) + \rho(\beta\gamma - (\beta+\gamma)a + a^2) = a.$$

在更标准的形式中，这是二次方的零

$$(\rho-1)a^2 + [(\beta+\gamma)(1-\rho)-1]a + \rho\beta\gamma.\tag{3}$$

假如$\beta, \gamma,\rho$与一些一致$2\times 2$表中，至少会有一个实零$(3)$，使用任何二次公式很容易找到。对于任何一个零，其余条目的解很容易从原始方程的前三个中找到：

$$\cases{b=\beta-a\\c=\gamma-a\\d = 1+a-\beta-\gamma.}$$

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至多会有一个有效的解决方案$a$，由系数的非负性决定。这是R解决方案作为函数的实现f以及使用随机生成的表的测试。测试输出随机表、它的重构值f，以及它们之间差异的度量。通过将测试包装在 中replicate，我已经运行了 10,000 次。最终输出给出了发现的最大差异：直到浮点误差为零，证明了这种方法的正确性。

f <- function(beta, gamma, rho, eps=1e-15) {
  a <- rho-1
  b <- (beta+gamma)*(1-rho)-1
  c_ <- rho*beta*gamma

  if (abs(a) < eps) {
    z <- -c_ / b
  } else {
    d <- b^2 - 4*a*c_
    if (d < eps*eps) s <- 0 else s <- c(-1,1)
    z <- (-b + s*sqrt(max(0, d))) / (2*a)
  }
  y <- vapply(z, function(a) zapsmall(matrix(c(a, gamma-a, beta-a, 1+a-beta-gamma), 2, 2)),
              matrix(0.0, 2, 2))
  i <- apply(y, 3, function(u) all(u >= 0))
  return(y[,,i])
}
set.seed(17)
i<-0
sim <- replicate(1e4, {
  while(TRUE) {
    x <- matrix(round(rexp(4), 2), 2, 2)
    if(all(rowSums(x) > 0) && all(colSums(x) > 0) && x[1,2]*x[2,1] > 0) break
  }
  x <- x / sum(x)
  beta <- rowSums(x)[1]
  gamma <- colSums(x)[1]
  rho <- x[1,1]*x[2,2] / (x[1,2]*x[2,1])

  y<- f(beta, gamma, rho)
  delta <- try(zapsmall(c(1, sqrt(crossprod(as.vector(x-y)))))[2])
  if ("try-error" %in% class(delta)) cat("Error processing ", x, "\n")
  delta
})
max(sim)