右侧提示：

$F_X(x) = P(X < x) \ge P(X < x \wedge Y < y) = F_{X, Y}(x, y)$.

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左侧提示：

下图显示了$XY$平面，水平线和垂直线相交于$(x, y)$.

该区域$C$是区域$X < x \wedge Y < y$- 你需要整合它以获得$F_{X, Y}(x, y)$. 您需要整合哪些地区才能获得$F_X(x)$,$F_Y(y)$， 和$1$?

这只是基本的不等式

$$P(A)+P(B)-1\le P(A\cap B)\le \sqrt{P(A)P(B)}$$ 活动$A=\{X\le x\}$和$B=\{Y\le y\}$. 无需进入发行版。

让$I_A$成为指标$A$， IE$I_A=1$如果$A$发生并且$I_A=0$如果$A$不会发生。

然后通过 Cauchy-Schwarz 不等式，

$$\left(E\left[I_AI_B\right]\right)^2 \le E\left[I_A^2\right]E\left[I_B^2\right] \implies (P(A\cap B))^2\le P(A)P(B)$$

和$P(A^c\cup B^c)\le P(A^c)+P(B^c)=1-P(A)+1-P(B)$暗示

$$P(A\cap B)=1-P(A^c\cup B^c)\ge P(A)+P(B)-1$$