为了解决这个问题，我将应用二项式定理，它适用于非负整数$c$：

$$(a+b)^c = \sum_{i=0}^c {c\choose i} a^ib^{c-i}$$

当您将此恒等式应用于时，被积函数变为中的标准多项式：$(1-x)^{n-y}$$x$

$$\begin{align*} Pr(Y=y) &= {n\choose y}\int_0^1 \sum_{i=0}^{n-y} {n-y\choose i}(-1)^ix^{i+y}~dx \\ &= {n\choose y}\sum_{i=0}^{n-y}{n-y\choose i}(-1)^i\frac{x^{i+y+1}}{i+y+1}\bigg|_0^1 \\ &= {n\choose y}\sum_{i=0}^{n-y}\frac{{n-y\choose i}(-1)^i}{i+y+1} \end{align*}$$

我刚刚意识到积分是 beta 分布的原型，因此可以这样操作...... beta 分布

$\int_{0}^{1}\begin{pmatrix}n\\y\end{pmatrix}x^y(1-x)^{n-y}\,dx$ ~在支持 (0,1) 上积分为 1。$\frac {\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$$\Rightarrow$

因此，如果和$\alpha-1=y$$\beta-1=n-y$ $\implies$ $\begin{pmatrix}n\\y\end{pmatrix}$$\frac{\Gamma(y+1)\Gamma(n-y+1)}{\Gamma(n+2)}$

我很草率，所以希望我没有犯代数错误。它应该（我希望！）与@josliber 写的一样，他仍然得到了赞誉，因为他管理了更多的创造力 IMO。