下面我绘制了一个线性和二次函数， $y = 50x + 3$ 和 $y=5x^2 - 1000$， 分别。

在计算任何东西之前，我们可以观察到 $x$ 和 $y$以某种形式相互关联。如果我们用文字来描述，我们可以说左边的情节是$x$ 增加所以 $y$.

同样，对于正确的情节，我们可以说 $x$ 从左侧向 0 移动， $y$ 向 0 递减，并且随着 $x$ 从 0 向右移动， $y$ 增加。

实际上， $x$ 和 $y$ 在左图中具有完美的线性关系，而 $x$ 和 $y$在右图中具有完美的二次关系。我们可以这样说是因为两个图中的点都位于红线上

如果我们更进一步，计算 x 和 y 之间的相关性。

我们观察到线性关系 $x$ 和 $y$ 相关性为 1。相反，对于二次关系， $x$ 和 $y$ 相关性为 0。

您将在下面找到上述图表的 R 代码，此外，还有用于计算相关系数的代码

set.seed(1)
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(gridExtra)

# Linear Function
linear = function(x){(50)*x + 3 }

# Quadratic Function
quadratic = function(x){(5)*x^2 - 1000}

# Create Data Frame
df = data.frame(x = c(-20:20), 
                y = c(sapply(-20:20, quadratic),sapply(-20:20, linear)), 
                type = c(rep('quadratic',41),rep('linear',41)) )

# Plot Functions
lp = ggplot(subset(df,type == 'linear'), aes(x,y)) + geom_point() + 
  stat_function(fun=linear, colour="red") + ggtitle('Linear Relationship')

qp = ggplot(subset(df,type == 'quadratic'), aes(x,y)) + geom_point() + 
  stat_function(fun=quadratic, colour="red") + ggtitle('Quadratic Relationship')

grid.arrange(lp, qp, ncol=2)


# Calculate correlation coefficients
df %>% filter(type =='linear') %>% select(x,y) %>% cor %>% (function(x){x[1,2]})
df %>% filter(type =='quadratic') %>% select(x,y) %>% cor %>% (function(x){x[1,2]})

完美的二次关系意味着该点完全位于某个抛物线上。

考虑一个完美的线性关系：位于一条直线上的点，例如 $(1,2)$, $(2,5)$， 和 $(5, 14)$ 那些在 $y=3x-1$.

同上，点完全位于某个抛物线上，给出了完美的二次关系。考虑$(-2,4)$, $(1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$， 和 $(2,4)$ 躺在 $y=x^2$.