我们都知道 意味着对于，我们有。这意味着如果我们必须在浮点中求值，对于可能会发生灾难性的取消。

$$\begin{equation} \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac12 x^2 + \dots \end{equation}$$ $|x| \ll 1$$\exp(x) \approx 1 + x$$\exp(x) -1$$|x| \ll 1$

这可以很容易地在 python 中演示：

>>> from math import (exp, expm1)

>>> x = 1e-8
>>> exp(x) - 1
9.99999993922529e-09
>>> expm1(x)
1.0000000050000001e-08

>>> x = 1e-22
>>> exp(x) - 1
0.0
>>> expm1(x)
1e-22

精确值是

$$\begin{align} \exp(10^{-8}) -1 &= 0.000000010000000050000000166666667083333334166666668 \dots \\ \exp(10^{-22})-1 &= 0.000000000000000000000100000000000000000000005000000 \dots \end{align}$$

一般来说，“准确”的实现exp应该expm1正确到不超过 1ULP（即最后一个单位）。但是，由于达到这种准确性会导致“慢”代码，因此有时可以使用快速但不太准确的实现。例如，在 CUDA 中，我们有expfand expm1f，其中f代表快速。根据CUDA C 编程指南，app. D有expf2ULP 的错误。

如果您不关心几个 ULPS 的错误，通常指数函数的不同实现是等效的，但要注意错误可能隐藏在某个地方......（还记得Pentium FDIV 错误吗？）

所以很明显expm1应该用来计算小的。将它用于一般是无害的，因为预计在其整个范围内都是准确的：$\exp(x)-1$$x$$x$expm1

>>> exp(200)-1 == exp(200) == expm1(200)
True

（在上面的示例中，远低于的 1ULP ，因此所有三个表达式都返回完全相同的浮点数。）$1$$\exp(200)$

类似的讨论适用于反函数log，log1p因为 for。$\log(1+x) \approx x$$|x| \ll 1$

为了扩大 和 之间的差异，log如果log1p是对数，可能有助于回忆图表：

如果您的数据包含零，那么您可能不想使用log，因为它未定义为零。并作为$x$方法$0$， 的价值$\ln(x)$方法$- \infty$. 所以如果你的$x$值接近$0$，那么值$\ln(x)$可能是一个很大的负数。例如$\ln(\frac{1}{e}) = -1$和$\ln(\frac{1}{e^{10}}) = -10$等等。这可能很有用，但它也会使您的数据向大的负数方向扭曲，尤其是当您的数据集还包含远大于零的数字时。

另一方面，如$x$方法$0$， 的价值$\ln(x+1)$方法$0$从积极的方向。例如$\ln(1+\frac{1}{e}) \sim 0.31$和$\ln(1+\frac{1}{e^{10}}) \sim 0.000045$. 因此log1p只产生正值并消除大负数的“危险”。当数据集包含接近零的数字时，这通常可以确保更均匀的分布。

简而言之，如果数据集都大于$1$，那么log通常就可以了。但是，如果数据集的数字介于$0$和$1$, 那么log1p通常更好。