在这方面有两类主要的解决方案需要讨论。

“足够”平滑的解决方案

Strang 的经典论文表明，如果非线性 PDE 解具有一定数量的连续导数，则 Lax 等价定理（即一致性加稳定性意味着收敛的想法）扩展到非线性 PDE 解。请注意，该论文专注于双曲线问题，但结果延续到抛物线问题。所需导数的数量是一个技术点，但这种方法通常适用于在强烈意义上满足 PDE 的解决方案。

不连续的解决方案

在另一个极端，我们有不连续的 PDE“解” ，这通常来自非线性双曲守恒定律。在这种情况下，当然不能说解决方案满足严格意义上的 PDE，因为它在一个或多个点上是不可微的。相反，必须引入 弱解的概念，这实质上等于要求解满足积分守恒定律。

在这种情况下，证明一系列解决方案的收敛性也更加困难，因为$L_p$-稳定性不够；通常必须证明该序列位于紧致空间中，例如$L_\infty$具有一些有限最大总变化的函数。

如果序列可以被证明收敛到某个东西，并且如果方法是保守的，那么 Lax-Wendroff 定理保证它将收敛到守恒定律的弱解。然而，这样的解决方案并不是唯一的。确定哪个弱解是“正确的”需要双曲线 PDE 中不包含的信息。通常，双曲 PDE 是通过忽略连续模型中的抛物线项来获得的，正确的弱解可以取决于丢弃的抛物线项（最后一点是与上述问题相关的论文的重点）。

这是一个内容丰富且涉及面广的课题，数学理论远未完善。大多数收敛证明都是针对一维问题的，并且依赖于专门的技术。因此，实际上几乎所有双曲守恒定律的实际计算解决方案都无法证明与现有工具收敛。有关从计算角度进行的实际讨论，请参见LeVeque 的书（第 8、12 和 15 章）；对于更严格和详细的治疗，我建议Dafermos。

除了指出每当数值方法在双曲方程上遇到问题（并收敛到错误的解）时，我在这里几乎没有什么贡献，这通常不是因为冲击。相反，他们遇到困难的领域是稀疏波——解决方案是平滑的。

另一个看起来很困难的例子是一个简单的方程

$$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$$ 你在那些地方遇到麻烦$F'(u)=0$. 这被称为方程的“声波点”。（注意，方程可以改写为$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$，这就解释了为什么$F'=0$是个问题）。这里发生的是方程退化：它只是一个常微分方程$F'=0$但解决方案当然会受到周边地区的影响，但情况并非如此。因此，如果你碰巧有$F'=0$最初在整个域中，比如说$\omega\subset\Omega$在哪里$|\omega|>0$，那么这部分域可能会增长或缩小。因为解在这些区域中通常是平滑的（实际上，它通常是恒定的），所以数值方法不会在这些区域中添加人工扩散，因此不会收敛到粘度解。

最后一点：助焊剂的一个例子$F(u)$从多孔介质中的多相流是

$$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$$ 在哪里$u$是饱和度。你有$F'(u)=0$为了$u=0$，即在饱和度为零的区域。