（我之前测试过这种方法，我记得它工作正常，但我没有专门针对这个问题测试过。）

据我所知，\ $\|\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2\|$和$\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2$如果它们几乎平行/垂直，则可能会遭受灾难性的抵消——如果任一输入关闭，atan2 将无法为您提供良好的准确性。

首先将问题重新表述为找到边长,和（这些都是在浮点运算中准确计算的）。由于 Kahan（错误计算针状三角形的面积和角度）， Heron 公式有一个众所周知的变体，它允许您计算由边长指定的三角形的面积和角度（在和之间），并在数值上稳定地做到这一点。因为这个子问题的归约也是准确的，所以这种方法应该适用于任意输入。$a=|\mathbf{v}_1|$$b=|\mathbf{v}_2|$$c=|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$$a$$b$

引用该论文（见第 3 页），假设 , 这里所有的括号都放得很仔细，很重要；如果您发现自己取负数的平方根，则输入边长不是三角形的边长。$a\geq b$

$$\mu = \begin{cases} c-(a-b),&\text{if }b\geq c\geq 0,\\ b-(a-c),&\text{if }c>b\geq 0,\\ \text{invalid triangle},&\text{otherwise} \end{cases}$$ $$\mathrm{angle} = 2\arctan\left( \sqrt{\frac{((a-b)+c)\mu}{(a+(b+c))((a-c)+b)}} \right)$$

Kahan 的论文中解释了这是如何工作的，包括其他公式失败的值的示例。公式是第 4 页上$\alpha$$C''$

我建议 Kahan 的 Heron 公式的主要原因是因为它是一个非常好的基元——许多可能很棘手的平面几何问题可以简化为找到任意三角形的面积/角度，所以如果你可以将问题简化为那个，那么一个很好的稳定公式，没有必要自己想出一些东西。

编辑根据 Stefano 的评论，我为、（代码）绘制了相对误差图。这两行是和的相对误差，沿着水平轴。似乎它有效。 $v_1=(1,0)$$v_2=(\cos\theta, \sin\theta)$$\theta=\epsilon$$\theta=\pi/2-\epsilon$$\epsilon$

在Velvel Kahan的另一篇笔记中，这个问题的有效答案并不令人惊讶：

$$\alpha=2\arctan\left(\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}+\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|,\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}-\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|\right)$$

其中我使用作为与水平轴的夹角。（在某些语言中，您可能必须颠倒参数的顺序。）$\arctan(x,y)$$(x,y)$

（我在这里给出了Kahan 公式的Mathematica演示。）