前几天，我的计算流体力学导师缺席了，他派了他的博士生来代替他。在他的演讲中，他似乎指出了与流体流动模拟的各种离散化方案相关的几个缺点：
有限差分法： 难以满足守恒，适用于不规则几何
有限体积法： 它倾向于偏向边缘和一维物理。
有限元法： 使用 FEM 求解双曲方程很困难。
不连续的伽辽金： 它是所有世界中最好的（也是最坏的）。
波动分裂： 它们尚未广泛适用。
讲座结束后，我试着问他从哪里得到这些信息，但他没有说明任何来源。我还试图让他澄清他所说的 DG 是“世界上最好的和最坏的”的意思，但无法得到明确的答案。我只能假设他是根据自己的经验得出这些结论的。
根据我自己的经验，我只能验证 FDM 难以应用于不规则几何的第一个说法。对于所有其他索赔，我没有足够的经验来验证它们。我很好奇这些声称的“缺点”对于一般的 CFD 模拟有多准确。
所提出的特征是合理的，因为它们大致代表了大众的意见。这个问题的范围很广，所以我现在只做一些观察。我可以根据评论详细说明。有关更详细的相关讨论，请参阅在有限差分和有限元之间选择的标准是什么？
低阶保守有限差分方法很容易用于非结构化网格。高阶非振荡 FD 方法是另一回事。在有限差分 WENO 方案中，物理出现在通量分裂中，并非所有黎曼求解器都可用。
有限体积方法在多个维度上工作得很好，但要高于一般流动结构的二阶，您需要额外的面正交点和/或横向黎曼求解，相对于 FD 方法大大增加了成本。但是，这些 FV 方法可以应用于非光滑和非结构化网格，并且可以使用任意 Riemann 求解器。
连续有限元方法可用于 CFD，但稳定性变得微妙。采用严格的非振荡方法通常是不切实际的，并且稳定通常需要额外的信息，如熵。当使用一致的质量矩阵时，显式时间步长变得更加昂贵。连续 Galerkin 方法不是局部保守的，这会导致强烈冲击的问题。另请参阅为什么在求解 PDE 时局部保护很重要？
不连续 Galerkin 方法可以使用任何 Riemann 求解器来连接元素。与其他常用方法相比，它们具有更好的固有非线性稳定性特性。DG 实现起来也相当复杂，并且在元素内部通常不是单调的。DG 有一些限制器，可确保积极性或最大原则。
还有其他方法，如光谱差分（例如Wang et al 2007或Liang et al 2009），它们有可能非常有效（如有限差分），同时具有更大的几何灵活性和更高的阶精度。
高雷诺数流动具有薄的边界层，需要高度各向异性的单元才能有效求解。对于不可压缩或几乎不可压缩的元素，这会给许多离散化带来很大的麻烦。有关主要从有限元方法的角度进行的其他讨论，请参阅哪些空间离散化适用于具有各向异性边界网格的不可压缩流？
对于稳态问题，有效使用非线性多重网格 (FAS) 的能力很有吸引力。FD、FV 和 DG 方法通常可以有效地使用 FAS，因为粗略地说，
对于连续有限元方法，该比率通常大于 10。但是，对于具有逐点或逐元素平滑器的有效 FAS，该比率是不够的。还需要有一个椭圆离散化以用于缺陷校正，或者以其他方式修改多重网格循环。如需进一步讨论，请参阅是否有解决 Neumann 问题且收敛速度与级别数无关的多重网格算法？对这个研究问题的积极回答可能会为连续有限元提供有效的 FAS。
简而言之 DG：
放宽跨单元边界的连续性要求的结果是 DG-FEM 中的变量数量大于相同数量单元的连续对应变量。
另一方面，由于局部公式（就元素而言），我们具有以下优势：