在非线性双曲 PDE 的解中，即使初始条件是平滑的，也会出现不连续性（“冲击”）。在存在不连续性的情况下，解决方案的概念只能在弱的意义上定义。冲击的数值速度取决于所施加的正确的 Rankine-Hugoniot 条件，而这又取决于在数值上满足局部积分守恒定律。Lax-Wendroff 定理保证只有当方法是保守的时，收敛数值方法才会收敛到双曲守恒定律的弱解。

您不仅需要使用保守的方法，实际上您还需要使用保留正确数量的方法。 LeVeque 的“双曲问题的有限体积方法”第 11.12 节和第 12.9 节中有一个很好的例子解释了这一点。如果你离散 Burgers 方程

$$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$$

通过一致的离散化

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$$

无论您如何细化网格，您都会观察到冲击以错误的速度移动。也就是说，数值解不会收敛到真解。如果您改为使用保守离散化

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$$

基于通量差异，冲击将以正确的速度移动（对于这个方程，这是冲击左侧和右侧状态的平均值）。这个例子在我写的这个 IPython notebook中有说明。

对于线性双曲偏微分方程和其他通常具有平滑解的偏微分方程，局部守恒不是收敛的必要成分。然而，由于其他原因（例如，如果总质量是一个感兴趣的量），它可能很重要。

我认为您的问题的一个答案是某些社区总是简单地使用保守方案，因此它已成为“完成方式”的一部分。有人可能会争论这是否是最好的方法，但这与要求英国人靠右行驶一样富有成效，因为只在标准一侧行驶会更方便。

也就是说，我确实看到了它有用的情况。例如，考虑两相多孔介质流。这个问题通常以以下方式提出：

$$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$$ 在这里，部分问题是求解构成前两个方程的混合拉普拉斯方程，该任务传统上使用 Raviart-Thomas 元素完成。选择它们通常是因为“确保质量守恒的重要性”，从某种意义上说，我可以理解：如果你最终得到一个不是质量守恒的速度场，你会得到一个不守恒整体的饱和方程输送流体的质量。当然，人们可以争辩说这不会那么糟糕，因为在极限范围内它都是一样的$h\rightarrow 0$，但坚持确保即使对于有限的网格尺寸也保持此属性确实有一定的意义。

很多时候，要求解的方程代表一个物理守恒定律。例如，流体动力学的欧拉方程是质量、动量和能量守恒的表示。鉴于我们正在建模的潜在现实是保守的，选择同样保守的方法是有利的

您还可以看到与电磁场类似的东西。麦克斯韦定律包括磁场的无散度条件，但该方程并不总是用于磁场的演化。保留此条件的方法（例如：受约束的传输）有助于匹配现实的物理特性。

编辑：@hardmath 指出我忘了解决问题的“可能出什么问题”部分（谢谢！）。这个问题专门针对工程师，但我将提供一些来自我自己领域（天体物理学）的示例，并希望它们有助于说明这些想法，足以概括工程应用中可能出现的问题。

(1) 模拟超新星时，流体动力学与核反应网络（以及其他物理学，但我们将忽略）相关联。许多核反应强烈依赖于温度，温度（一阶近似）是能量的某种度量。如果你不能保存能量，你的温度要么太高（在这种情况下你的反应运行得太快，你会引入更多的能量，你会得到一个不应该存在的失控）或太低（在这种情况下你的反应运行太慢，你无法为超新星供电）。

(2) 在模拟双星时，需要将动量方程改写为角动量守恒。如果你未能保存角动量，那么你的恒星就无法正确地相互绕行。如果它们获得额外的角动量，它们就会分开并停止正确相互作用。如果失去角动量，它们就会相互碰撞。模拟星盘时也会出现类似的问题。（线性）动量守恒是可取的，因为物理定律守恒线性动量，但有时你必须放弃线性动量并守恒角动量，因为这对手头的问题更重要。

我不得不承认，尽管引用了磁场的无散度条件，但我对那里的知识并不了解。未能保持无发散条件可能会产生磁单极子（我们目前没有证据），但我没有任何很好的例子来说明可能在模拟中引起的问题。

今天我遇到了一篇论文The EMAC Scheme for Navier-Stokes Simulations, and Application to Flow Past Bluff Bodies并注意到它的第 1.2 节至少部分回答了 OP 的问题。相关部分是：

计算流体动力学 ( CFD ) 社区普遍认为，离散化中包含的物理越多，离散解越准确和稳定，尤其是在较长的时间间隔内。N. Phillips 在 1959 [42] 为正压非线性涡量方程构建了一个示例（使用有限差分方案），其中对流项的长时间积分导致任何时间步长的数值模拟失败。在 [4] Arakawa 表明，如果动能和熵（在二维中）通过离散化方案守恒，则可以避免长时间积分的不稳定性问题。…… 2004 年，Liu 和Wang 开发了三维流动的螺旋度和能量守恒。在 [35]中，他们提出了一种用于轴对称流动的能量和螺旋度保持方案。他们还表明，他们的双重守恒方案消除了对大的非物理数值粘度的需要。…

… 几十年来，CFD 中已经知道，有限元方案保存的物理量越多，预测就越准确，尤其是在较长的时间间隔内。因此，由更准确的方案提供的解决方案在物理上也更相关。如果可以提供完全解析的网格和无限小的时间步长，那么所有常用的有限元方案都可以提供相同的数值解。然而，在实践中，人们无法在 3D 模拟中提供完全解析的网格，尤其是对于时间相关问题。例如，在第 2 章中，我们需要 50-60,000 个时间步，其中每个时间步需要求解一个具有 400 万个未知数的稀疏线性系统。这需要 2-3 周的计算时间，在 5 个节点上使用高度并行的代码，每个节点有 24 个内核。