计算科学 - 为什么 SciPy eigsh() 在谐振子的情况下会产生错误的特征值？ - 吾爱随笔录

在计算物理学的背景下，我正在开发一些更大的代码来执行巨大稀疏矩阵的特征值计算。由于特征值在分析上是众所周知的，因此我在一个维度上针对简单谐振子测试我的例程。这样做并将我自己的例程与 SciPy 的内置求解器进行比较，我发现了下图中显示的奇怪之处。在这里您可以看到前 100 个数值计算的特征值 $\lambda_{num}$ 和分析特征值 $\lambda_{ana}$

在特征值 40 附近，数值结果开始与分析结果不同。这并不让我感到惊讶（我不会在这里讨论为什么，除非它出现在讨论中）。然而，令我惊讶的是eigsh()会产生退化的特征值（在特征值 80 附近）。为什么即使对于如此少量的特征值，eigsh() 的行为也会如此？

在此处输入图像描述

import numpy as np
from scipy.sparse.linalg import eigsh
import myFunctions as myFunc
import matplotlib.pyplot as plt

#discretize x-axis
N = 100
xmin = -10.
xmax = 10.
accuracy = 1e-5
#stepsize
h = (xmax - xmin) / (N + 1.)
#exclude first and last points since we force wave function to be zero there
x = np.linspace(-10. + h,10. - h,N)
#create potential
V = x**2

def fivePoint(N,h,V):
    C0 = (np.ones(N))*30. / (12. * h * h) + V
    C1 = (np.ones(N)) * (-16.) / (12. * h * h)
    C2 = (np.ones(N)) / (12. * h * h)
    H = sp.spdiags([C2, C1, C0, C1, C2],[-2, -1, 0, 1, 2],N,N)
    return H

H = myFunc.fivePoint(N,h,V)
eigval,eigvec = eigsh(H, k=N-1, which='SM', tol=accuracy)

#comparison analytical and numerical eigenvalues
xAxes = np.linspace(0,len(eigval)-1,len(eigval))
analyticalEigval = 2. * (xAxes + 0.5)
plt.figure()
plt.plot(xAxes,eigval, '+', label=r"$\lambda_{num}$")
plt.plot(xAxes,analyticalEigval, label=r"$\lambda_{ana}$")
plt.xlabel("Number of Eigenvalue")
plt.ylabel("Eigenvalue")
plt.legend(loc=4)
plt.title("eigsh()-method: Comparison of $\lambda_{num}$ and $\lambda_{ana}$")
plt.show()