van der Houwen 的陈述是正确的，但它并不是关于所有五阶 Runge-Kutta 方法的陈述。他所指的“泰勒多项式”是（如您所见）只是近似到阶次多项式：$p$$\exp(z)$$p$

对于五阶多项式，结果表明对于小，因此作为其稳定性多项式的方法的稳定区域不包括原点的任何邻域在虚轴上。确切地说，就是范德豪文所说的。$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

您最可能混淆的来源是“五阶龙格-库塔方法”的含义。有（无限）许多五阶 Runge-Kutta 方法，但最著名的方法没有作为其稳定性多项式。为什么？ 正如约翰·布彻著名的证明，五阶龙格-库塔法必须至少有六个阶段。通常，具有六个（或更多）阶段的方法的稳定性多项式将具有六次（或更多）。例如，此 Wikipedia 页面上列出的每个五阶方法都使用六个阶段，并且具有六次稳定性多项式。$P_5(z)$

五阶方法是否有可能将作为其稳定性多项式？是的; 五阶显式外推方法（就像我的这篇论文中回顾的著名方法）可以做到这一点。另请注意，阶段 Runge-Kutta 方法将精确到 5 阶，但对于非线性 ODE 则不准确。$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

最后，在确定高阶龙格-库塔方法的假想稳定区间范围时很容易出错。这是因为这种方法的稳定区域的边界非常靠近虚轴。因此，舍入误差会导致错误的结论；只应使用精确的计算（当然，在这些情况下，稳定区域边界对于实际目的的相关性当然可以讨论）。

例如，这里是来自 Fehlberg 5(4) 对的五阶方法的稳定区域图：

想象中的稳定区间是空的，但是从这个分辨率下的图片你看不出来！请注意，该区域清楚地包括虚轴的一部分，但没有关于原点的间隔。

同时，这里是来自 Dormand-Prince 5(4) 对的五阶方法的图：

它具有大约的虚构稳定区间。$[-1,1]$

有关的虚轴附近稳定区域边界的精确表征（这非常有趣！），请参阅我最近的论文。$P_p(z)$

您可能还对NodePy 包感兴趣，它生成了上面的图，可用于准确确定方法的虚构稳定性区间等内容（免责声明：我创建了 NodePy）。