在多维中提供基或求积（在许多情况下可以代替 MC）的更结构化的方法是稀疏网格，它结合了一些具有不同顺序的一维规则族，从而仅具有指数增长方面，$2^d$，而不是让它成为分辨率的指数$N^d$.

这是通过所谓的 Smolyak 求积来完成的，它结合了一系列一维规则$Q^1_l$作为

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

这相当于从空间中去除了高混合阶数的张量积正交空间。如果这以足够严格的方式完成，那么复杂性可能会大大提高。然而，为了能够做到这一点并保持良好的近似，解的规则性必须具有充分消失的混合导数。

稀疏网格已被 Griebel 小组殴打致死，例如配置空间中的薛定谔方程和其他 高维事物，结果相当不错。在应用中，使用的基函数可能非常通用，只要你可以嵌套它们。例如，平面波或分层基础很常见。

自己编写代码也很简单。然而，根据我的经验，要让它真正解决这些问题是非常困难的。有一个很好的教程。

对于解决方案存在于具有快速消亡导数的专用 Sobolev 空间的问题，稀疏网格方法可能会产生更大的结果。

另请参阅 Acta Numerica 评论论文，高维参数和随机 PDE 的稀疏张量离散化。

作为一般规则，很容易理解为什么常规网格不能超出 3 或 4 维问题：在 d 维中，如果您希望每个坐标方向至少有 N 个点，您将得到 N^d总分。即使对于 1d 中相对较好的函数，您至少需要 N=10 个网格点来解决它们，所以点的总数将是 10^d - 即即使在最大的计算机上，您也不太可能超过 d =9，并且可能不会超越以往。如果解函数具有某些属性，稀疏网格在某些情况下会有所帮助，但总的来说，您将不得不忍受维度灾难的后果并使用 MCMC 方法。

蒙特卡洛有一个非常吸引人的特性：它具有相同的收敛速度，与问题的维度无关。因此，即使对于维度问题$d=4,...,100$，它们将以与维度问题相同的速率收敛$d=100,101,...\infty$. 因此，即使您的维度从 4 增加到 100，蒙特卡洛也可能会更快。